il existe un injection de R dans N

christophe c

Mais non, je ne suis pas devenu sénil...



Soit $x$ une suite de zéros et de 1, c'est à dire une application de $\N$ dans $\{0;1\}$

{\it

1) Chercher un modèle dénombrable de ZFC + "V=L"* de la forme $L_\alpha$ qui contient $x$. Notez alors $T$ l'ensemble des axiomes du premier ordre** qui n'ont pas de modèle bien fondé de hauteur inférieure ou égale à $\alpha$

2) Une fois que vous avez trouvé cet ordinal $\alpha$, continuez de monter le long des ordinaux supérieurs à $\alpha$ jusqu'à ce que vous trouviez, au niveau de l'ordinal $\beta$ un des axiomes $A$ se trouvant dans $T$ qui soit enfin satisfait par un modèle bien fondé de hauteur $<\beta $

3) Le modèle $L_{\beta +1}$ est canonique***, dénombrable via une certaine injection $i$ de lui dans $\N$, et contient $x$, avec $i(x)=:p$. Le couple $(A;p)$ (codé en tant qu'entier) doit être retourné comme résultat, appelé "numéro du réel $x$".

}

Si elle termine, la procédure précédente vous permet d'associer à chaque "réel" un "nombre entier". Et... {\bf elle termine!} (vous ne pourrez jamais me prouver le contraire)

* "V=L" est l'axiome qui affirme que tous les ensembles sont "constructibles". On obtient les ensembles constructibles en stabilisant la collection contenant initialement les ordinaux par passage aux sous-ensemblex définissables par une formule avec éventuellement des paramètres. (Je préciserai un autre jour)

** voir un cours de logique

*** on peut le définir comme le premier $L_\alpha$ qui contient un modèle de l'axiome $A$ et patati et patata