Système, Théorie, Structure, Modèle

Quercus

Bonjour, je viens à vous avec un problème de vocabulaire. Pardonnez moi si je dis une quelconque bêtise (je ne suis pas matheux) et mes fautes (je ne suis pas français) mais un littéraire intéressé aux mathématiques.

J'ai tout un embrouillé dans la tête avec les concepts suivants : Système, Théorie, Structure, Modèle.

Avec un certain langage L on établit des formules bien formées.
Pour déterminer quels formules sont vraies (théorèmes) ou non j'utilise une logique L et un groupe d'axiomes A : Moi j'appelle ça une théorie. 1) Si ce n'est pas ça alors comment appeler ça ?

Dans mon langage je peux inclure des symboles de relation, de fonction, de constantes qui vont déterminer en fin de compte de quoi je parle ( (Z,0,+) , (R ,?,+,x,0,1), etc ): 2) On peut appeler ça une réalisation, ou interprétation du langage L ?, 3) Ca fait partie de la théorie ?


4) Comment appeler l'ensemble dans lequel tout ça se réalise ? Structure, modèle ?

5) Comment appeler l'ensemble Théorie + interprétation du langage + modèle ? J'ai opté pour système mais ce mot a tellement d'acceptions en mathématiques et partout que je ne sais pas...

Je suis conscient que les définitions que je me propose ne sont pas celles de la théorie des modèles mais sont-elles inconsistantes pour autant ?
Bon voilà 5 questions peut-être un peu embrouillées. Si quelqu'un peut m'aider avec...

Juan

jobherzt

1) Oui

2)3) Non, tant que tu introduis des symboles de relation, de fonction, de constante, tu restes dans le symbole, donc ca n'est pas du tout une réalisation, et ça ne permet pas encore de parler de quelque chose de "concret" comme $\Z$ ou $\R$.

4) Comprends pas trop, mais un modèle c'est justement une réalisation "concrète" d'une théorie, càd une manière de donner un "sens" aux symboles.

5) Je ne sais pas trop, peut être "système formel" ?

Quercus

Merci beaucoup pour ta reponse Jobherzt, en effet la seule référence que j'ai c'est le livre de Cori et Lascar et il est trop formel pour mes besoins.

Par tes réponses à 2) et 3) je déduis qu'une théorie serait dépourvue de sémantique ?
Si par exemple je propose une géométrie avec trois parallèles à une droite donnée par un point extérieur j'ai déjà une interprétation mais pas un modèle d'une telle géométrie.

Et dans la théorie des ensembles, en principe un modèle de la théorie des ensembles n'est pas très visualisable mais on donne un sens plus ou moins clair à cette théorie. Comment appeler ce sens ou cette façon de visualiser une théorie ?

Je ne sais pas si je suis clair ou si tout simplement la question n'est pas pertinente.

Merci

jobherzt

En fait, du moins pour ce que j'en sais, je ne suis pas spécialiste, quand tu fais de la logique tu es un poil schizophrène :

- dans l'idée, le but de la logique c'est de manipuler des symboles suivant certaines règles, et de voir ce qu'il se passe, le tout complètement dans l'abstrait et sans donner aucun "sens" aux symboles.

- dans la pratique, évidemment, le but est quand même d'échafauder des théories qui "collent" à des objets intuitifs..

Donc pour reprendre ton exemple, d'un point de vue logique le mot "droite" n'est qu'une étiquette sans importance, je pourrais aussi bien dire "par 2 choux fleur passent une et une seule carotte", ça ne change fondamentalement rien à la théorie. Donc quand on parle de droite, ou d'ensemble, ces choses là ne sont pas définie, donc il n'y a pas d'interprétation du langage. mais c'est évident qu'on ne les appelle pas ainsi pour rien.

Le but final est de transporter des objets "flous" de la "vraie vie" dans un cadre formel et défini qui permet de faire des maths avec. C'est la qu'on devient schizo, parce que pour faire ça il faut justement "oublier" le sens intuitif de ces objets, mais sans le perdre de vue.

Aleg

"par 2 choux fleur passent une et une seule carotte", c'est freudien ?

jobherzt

Peut-être bien, je pense que ça m'est venu plutôt de l'expression "on n'additionne pas des choux et des carottes", enfin bref, ça revient souvent pour dire "n'importe quoi". je crois qu'Hilbert parlait plutôt de tasse à café...