Le paradoxe de Littlewood
Bonjour,
J'ai emprunté à la bibliothèque municipale, le numéro 13 HS de Tangente consacré à L'infini.
Page 137, Julien Linassier évoque "le paradoxe de Littlewood":
Des boules numérotées 1,2,3,...sont placées dans une urne selon la procédure suivante :
une minute avant minuit les boules 1 à 10 sont placées dans l'urne et la boule 1 est retirée,
une demi-minute avant minuit, les boules 11 à 20 sont placées dans l'urne et la boule 2 est retirée,
un tiers de minute avant minuit, les boules 21 à 30 sont placées dans l'urne et la boule 3 est retirée,
et ainsi de suite...
Combien de boules l'urne contiendra-t-elle à minuit ?
JL termine son article par : "La réponse est aucune; voyez-vous pourquoi ? "
Si l'un des stratèges fréquentant ce phorum5 avait l'obligeance d'expliquer pourquoi, je lui serai infiniment reconnaissant
Amicalement.
J'ai emprunté à la bibliothèque municipale, le numéro 13 HS de Tangente consacré à L'infini.
Page 137, Julien Linassier évoque "le paradoxe de Littlewood":
Des boules numérotées 1,2,3,...sont placées dans une urne selon la procédure suivante :
une minute avant minuit les boules 1 à 10 sont placées dans l'urne et la boule 1 est retirée,
une demi-minute avant minuit, les boules 11 à 20 sont placées dans l'urne et la boule 2 est retirée,
un tiers de minute avant minuit, les boules 21 à 30 sont placées dans l'urne et la boule 3 est retirée,
et ainsi de suite...
Combien de boules l'urne contiendra-t-elle à minuit ?
JL termine son article par : "La réponse est aucune; voyez-vous pourquoi ? "
Si l'un des stratèges fréquentant ce phorum5 avait l'obligeance d'expliquer pourquoi, je lui serai infiniment reconnaissant
Amicalement.
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Réponses
Cordialement
est-ce une lapalissade, une démonstration, les deux ensemble ?
Bref, la difficulté est dans la modélisation (l'emploi du mot "modélisation" st sans doute abusif ici...).
bs, pour tout n la boule n a été enlevée à minuit - 1/n minutes. Donc il peut difficilement rester une boule.
Si on veut donner un sens à la limite d'une suite d'ensemble on peut dire que cette limite existe si les limsup et liminf sont égales. Ici elles sont égales à l'ensemble vide.
permettez-moi d'exprimer mon désaccord. D'abord, personne n'a pris la peine de traduire mathématiquement la situation. Or, je ne vois guère qu'une façon de procéder : en associant arbitrairement minuit au temps zéro, cela revient à définir
une application f de R*- dans P(N) par
f( ]-infini,-1[ ) = ø
f( [-1/n,-1/(n+1)[ ) = [n+1,10.n]
Vouloir prolonger f au point 0 n'est, à mon sens, que pure élucubration.
Le paradoxe n'est pas qu'on ne puisse pas mathématiser (c'est ce que tu dis), mais que deux interprétations intuitives d'une situation "concrète" s'opposent :
* Il y a de plus en plus de boules;
* Toutes les boules sont sorties.
Intuitivement, c'est la deuxième solution qui me convient, de la même façon que la limite des fonctions caractéristiques des [n,n+1] quand n tend vers l'infini est la fonction nulle (Pourtant il y a toujours des valeurs égales à 1).
Reprenons ta mathématisation :
J'appelle f(n) le numéro de la plus petite boule au moment "minuit - 1/n". F a-t-elle une limite ? que traduit cette limite ?
J'ai peur que pour toi, une bonne partie des mathématiques ne soit "que pure élucubration" car ce passage à la limite est fréquent.
Cordialement
En fait on utilise simplement la définition de la limite inf d'une suite d'ensemble qui donne une bonne modélisation du problème.
En fait je pense qu'on peut généraliser et enoncer un resultat plus général : Soit une suite $E_n$ d'intervalles d'entiers de la forme $[a_n,..,b_n]$ tels que $b_n>a_n$ et $a_n$ strictement croissante. Alors la limite inf des $E_n$ est vide. En effet si un élément x appartient à un certain $E_n$, il existe un entier n'>n tel que $a_{n'}>b_n$ car $(a_n)$ étant strictement croissante et à valeurs entières,tend vers l'infini. Alors x n'appartient pas à $E_{n'}$ et alors aucun élément ne peut être dans tous les $E_n$ à partir d'un certain rang.
Ainsi : Soit une suite d'instant $t_n$ convergeant vers un instant t et soit une urne dans laquelle on ajoute $i_n$ boules et on enlève $j_n$ boules à chaque instant $t_n$, $i_n>j_n$ et $i_n$ croissante (eventuellement constante). Alors à l'instant t l'urne est vide.
En espérant avoir dit moins de conneries que toto.le.zero :P
t-mouss
En première lecture, j'ai interprété l'énoncé (et, à mon sens, au vu de l'habillement "en situation" de la question, je n'ai pas eu tord) par "à minuit moins 1/n minute, les boules 10(n-1)+1 à 10n sont ajoutées et une nième boule (au hasard) est retirée de l'urne".
Avec ce nouvel énoncé, est-ce que ça a un sens de se demander si l'urne est vide à minuit ? Est-ce que ça a un sens (voire plusieurs) de demander la probabilité que l'urne soit vide à minuit ? Bref est-ce qu'on peut modéliser ce nouveau problème (d'une ou plusieurs façons) ?
En fait le calcul est élémentaire, c'est la construction de l'espace probabilisé qui l'est moins.
je n'avais pas compris le problème et je vois maintenant l'enjeu
Tu es polarisé par les probas :"Quel sens cela a-t-il de mettre des boules dans une urne si ce n'est pas pour tirer une boule au hasard ? "
As-tu mis ton bulletin dans l'urne Dimanche pour obtenir un élu au hasard ?
Par contre, la généralisation "tirage au hasard" est intéressante et encore plus paradoxale !
Cordialement
Merci à tous pour vos approches et à toi, Guimauve, pour la référence Quadrature n°54, que je vais m'empresser d'emprunter.
Si j'ai bien compris ce paradoxe:
A minuit - 1/n minute:
-> les boules numérotées de 1 à n ne sont plus dans l'urne, et, par ailleurs,
-> il reste 9n boules dans l'urne...
Afin d'être exhaustif, je me dois de préciser que dans son article, J.Linassier commence par expliquer "le paradoxe de la biographie" de Bertrand Russell.
"En supposant l'existence d'un futur infini, B.Russell inventa le paradoxe suivant.
En 1760 parût un roman de Laurence Sterne: Vie et opinions de Tristan Shandy, gentilhomme.
Bertrand Russell affirme:
"Tristan Shandy , comme on le sait, passa deux années à écrire l'histoire des deux premiers jours de sa vie; il déplorait qu'à cette vitesse les sujets s'accumuleraient plus rapidement qu'il ne pourrait les traiter et qu'ainsi il n'en finirait jamais. Je soutiens à présent que , s'il avait vécu éternellement et qu'il ne soit pas lassé de sa tâche, et même si sa vie avait continué à être aussi riche d'évènements , aucune partie de sa biographie ne serait restée à l'état de projet."
JL écrit que le paradoxe de Littlewood est de la même veine que que celui de Russell.
Bonne journée à tous.
quelque soit n, la boule n° n est retirée avant minuit(=0). ok
quelque soit t<0, il existe une boule non retirée. ok
(il y a des limites à ne pas dépasser)
S