fonction de distribution harmonique

Willy

Bonjour,
je cherche une définition simple de ce qu'est une famille de distribution harmonique.

La raison est que je travaille sur le protocole symphony (qui sert à maintenir une table de hashage distribué dans le cadre d'un réseau peer to peer, pour les curieux voir http://www.usenix.org/events/usits03/tech/full_papers/manku/manku.pdf ) qui se sert de ce genre de fonction pour choisir aléatoirement un noeud dans un ensemble.

J'ai trouvé quelques document sur le net, mais bien que je ne sois pas allergique au math, je suis qu'en master info, alors une petite fonction générique ou une petit définition me suffirait à contrario des définitions de trois pages en fonction elles même des distributions sub et sur-harmonique !
S'il vous plait pas de référence à un livre non plus, car je suis pour un an en Allemagne, donc il me serait dur de le consulter...

Je vous remercie par avance !

PS : je suis inscrit à votre liste par curiosité depuis févier 2005, je crois que j'ai reçu un seul mail depuis, c'est normal ?

Willy

Hum, je n'ai pas l'air de rencontrer un vif succès, alors on va en dire un peu plus, ça va peut être déclencher des souvenirs...

Il est dit dans mon document que la probabilité basée donc sur une fonction de distribution harmonique est :
$$ p(x)_n=\frac{1}{x\ln n} \ \mathrm{si}\ x \in \left[\frac{1}{n};1\right], \quad 0\ \mathrm{sinon}. $$
Ca ne me semble pas trop être de la probabilité si c'est déterminé par une fonction...
Je ne comprends pas !

LG1

Bonjour,

Je ne comprends pas très bien ta question, le mot harmonique est présent dans plein de contextes en maths (analyse complexe, EDP, systèmes dynamiques, chaînes de Markov...).

Par contre la fonction que tu donnes définit bien une loi de probabilité : c'est une fonction positive dont l'intégrale vaut 1. Il se trouve qu'elle dépend d'un paramètre $n$.

Précisément, qu'est-ce que tu cherches? En général on parle de "truc" harmonique par rapport à un "machin".

Willy

Ok, je vais tenter d'être plus précis :
Il sagit d'un ensemble de $n$ machines (ordi par ex) réparties autour d'un cercle ayant un lien avec la machine imédiatement avant, et un lien avec la machine imédiatement après. Ensuite il doit être établi $k$ liens au hasard avec d'autres machines du cercle. Ce "{\it au hasard}" est géré par une {\bf fonction de distribution de probabilité} ({\bf pdf}), celle donc déjà cité :
$$\displaystyle p(x)_n=\frac{1}{x\ln n} \ \mathrm{si}\ x \in \left[\frac{1}{n};1\right], \quad 0\ \mathrm{sinon}. $$
On me dit dans le texte que cette fonction est une version de la {\bf discrete pdf de Kleinberg} (histoire de petit monde et compagnie) et qu'il est important qu'elle soit de la famille des {\it distributions harmoniques}, et que c'est d'ailleurs ça qui a motivé le choix du nom {\bf Symphony} (nom de ce système de gestion de table de hashage distribué dans un petit monde)

Ma question est donc, qu'elle est la définition de ce type de {\it fonction de distribution harmonique}, pour que je comprenne pourquoi il est si important qu'elle soit de cette famille là et pas d'une autre.

Merci de vos réponses

gilles benson

Bonsoir, ceci doit être lié à la notion de densité de probabilité:
(pdf est pour probability density function) $$p_n(x)= \frac{1}{x\ln n}$$ est une densité de probabilité sur $[1/n;1]$ car:
$$\int_{1/n}^{1} p_n(x)dx=1 \qquad ; \qquad p_n(x) \geq 0$$
Ceci étant je n'avais encore jamais rencontré ce type de densité...

Le vocable harmonique vient sûrement du fait qu'on évalue l'aire d'une partie du plan définie par un arc d'hyperbole et, j'imagine, car tout nombre de la forme $\frac{1}{n}$ est appelé harmonique...

Willy

Bonsoir, et merci de votre réponse.
Il est certain que pdf est pour probability distribution function, car c'est noté tel quel dans le document. (milieu paragraphe 3.1)

Donc si je comprend bien, il n'existe pas de définition, et quand il disent après que ça fait partie de "a family of harmonic distribution", il doit bien exister quelque chose qui la définie cette famille, je ne pense pas que les auteurs d'un document scientifique aient dit ça sans fondement.

Bien sûr, Kleinberg a bien travailler, et le net regorge de document le mentionnant, mais sur des sujets satellites... ouinn !!

PS : Depuis que j'aprends l'allemand, je fais des fautes à tous les deux mots en français, j'essaie de les corriger, mais je doute toutes les voir, veuillez m'en excuser...

gilles benson

bonsoir, je n'ai pas dit qu'il n'existait pas de définition; j'ai simplement écrit
que c'est un type de loi de variable aléatoire que je n'ai pas encore eu le plaisir de rencontrer; il y a sur ce forum d'éminents probabilistes qui en sauront surement plus que moi. En français, l'équivalent de pdf est donc densité de probabilité...
bon courage pour la suite

Willy

Bon bon, je vous remercie beaucoup, en espèrant que les probabilistes ont une probabilité pas trop faible de passer ici !


Willy