définition et ssi

vince

Titre initial : votre avis m'intéresse... et intéressera peut être.

Bonsoir à tous,
ma question est simple.

Que pensez vous de la présence du "si et seulement si" dans une définition.

Personnellement celà m'a pas mal gêné lorsque j'étais étudiant, les cours étant dispensé par des enseignants ayant un certain âge.
Je me refuse à le faire en tant que prof et les manuels actuels semblent se limiter au simple et efficace "si".
Merci.
Vincent.

[J'ai modifié ton titre pour qui'il soit plus explicite. AD]

corentin

Pour moi le si et seulement si est stupide.
Un lorsque serait beaucoup plus élégant et marquerait mieux la distinction entre proposition et définition.
Ce n'est pas très important mathématiquement, parce que toute personne faisant des maths comprend très tot cela, mais je trouve que ça serait plus correct du point de vue de la langue française.

vince

Oui, pour ma part il s'agit d'une part de l'implication
"mot utilisé " => "concept mathématique"
ainsi que de la contraposée de cette implication.

Donc pas de <=> dans une définition.

Merci Corentin.

nath83

bonjour
moi je pense que le "si et seulement si" est obligatoire pour montrer la double inclusion car si tout seul entraine une seule inclusion.
bonne soirée

Yann

En lycée, mieux vaut ne pas trop employer ce "ssi". Bien distinguer "A implique B", et réciproquement "B implique A", permet d'acquérir la notion d'implication... et "de double implication", donc de "si et seulement si"...
J'ai pas été clair ?
Bon, il est tard...

Zantac

Ma foi, justement en lycée pour bien distinguer il vaut mieux bien écrire "si et seulement si". Je me souviens justement qu'il y a longtemps, j'avais lu "une fonction est dite croissante si ..." et je me demandais ce que c'était qu'une fonction telle que $\forall x,y \in E, ...$ ! Donc je suis archi-pour le ssi pour une définition !

Yann

Le "si et seulement si" ne doit pas passer de le même manière alors... (de nos tristes jours ! snif)
Préciser le sens du "si" et du "seulement si" me parait important.
Mais peut-être fais-je un élevage d'ânes ? (ou j'en suis un moi-même... Bon, assez d'auto-flagellation)

Richard André-Jeannin

Une fonction est croissante si a>b implique f(a)>f(b). Je ne vois pas à quoi sert le "seulement si".

Zantac

Si $n \ in \Z$, $n$ est entier.

$n$ est entier si $n \in \Z$. Là, ce n'est pas une définition, mais la phrase est correcte.

Donc pour définir ce qu'est un entier, vu l'ambiguité associée au "si", je préfère le "ssi", même si on se doute que dans une définition le "si" est un "ssi".

Yann

Encore une ptite queqtion m'sieur : Enseignes-tu actuellement Zantac ?
La difficulté de la notion d'équivalence est réelle.
Comprendre l'implication est essentielle avant de passer à l'équivalence...

Domi

Je n'ai pas lu tout ce qui précède et je m'excuse d'avance si mon intervention tombe à plat . Dans une définition , la réciproque est implicite donc le ssi fait double emploi .

Domi

Eric

Ca me rappelle une remarque dans un rapport de jury d'agreg où le rédacteur précisait que l'on ne devrait pas voir de "si et seulement si" dans une définition.

Guimauve

D'un point de vu logique, c'est pourtant correct non ?

GG

bonjour,
j'ai de la peine à vous suivre dans ce rejet du ssi.
Une définition a pour but d'enrichir une théorie d'un nouveau signe relationnel ou fonctionnel à l'aide d'un axiome introducteur, par exemple

S(x,y,z) <=> R(x,y,z) où R(x,y,z) est une relation construite avec les signes existants et S un nouveau signe,

z=f(x,y) <=> F(x,y,z) où F est une relation fonctionnelle en z partout définie construite avec les signes existants et f un nouveau signe fonctionnel.

Ce signe d'équivalence (ou sa forme verbale ssi) est incontournable.

Si j'écris seulement

f croissante si quels que soient x,y€D(f), x<y => f(x)<f(y),
autrement dit

f croissante <= quels que soient x,y€D(f), x<y => f(x)<f(y)

à la place de

f croissante <=> quels que soient x,y€D(f), x<y => f(x)<f(y)

comment ferai-je pour démontrer (par exemple) que la somme de deux fonctions croissantes est croissante ?

Il faut bien que j'écrive

supposons f et g croissantes.
Alors x<y => f(x)<f(y) et g(x)<g(y)
Donc x<y => f(x)+g(x)<f(y)+g(y)

Donc f+g croissante.

J'ai dû utiliser les implications dans les deux sens.

MuadDib

Le problème GG est que dans ton raisonnement tes "donc" et "alors" ne signifient rien, car tu ne déduis pas de la croissance de f que x<y => f(x)<f(y), tu ne fais que réécrire de manière explicite la MEME proposition, et non deux propositions liées par une implication (ou une équivalence).

Et c'est bien là tout le problème de l'utilisation du si et seulement si dans une définition, c'est que la proposition "f croissante" n'a pas de sens indépendamment de "x<y => f(x)<f(y)". Il est donc absurde d'écrire une équivalence logique entre les deux.

D'où l'utilisation d'un "si" de définition (ou d'un lorsque), qui ne fait que traduire une autre façon d'écrire la même proposition logique.

kharg

J'utilise de manière aleatoire le "si",le "ssi" ou le "lorsque" (pour moi tout est permis) pour une définition car on passe des mots (le système linguistique ne concorde pas avec le système logique des maths) à des symboles mathématiques (bien défini dans son système logique). Malgré tout les mots sont souvent nécessaire pour rajouter "une intuition".
cordialement.

Guimauve

« tu ne fais que réécrire de manière explicite la MEME proposition »

Si c'est la même proposition, c'est bien que ces deux propositions sont équivalentes. Non ?

GG

bonjour Muad'Dib,

il y a concernant les définitions deux attitudes possibles : soit on les considère comme de simples abréviations (Krivine dans son "théorie des ensembles" nous invite à faire l'exercice fastidieux d'écrire explicitement quelques énoncés en éliminant toutes les abréviations) soit on les traite avec le mécanisme des axiomes introducteurs.

Comme le dit Godement quelque part à propos d'un th sur des propriétés évidentes de l'égalité, ... il serait à proprement miraculeux que nous puissions démontrer quoi que ce soit concernant le signe = après l'avoir simplement écrit sur une feuille de papier.

De même, je ne pourrai rien faire avec l'énoncé

c(f) et c(g) => c(f+g)

tant que je n'ai pas joint aux données dont je dispose pour raisonner l'information qui doit bien être considérée comme un axiome

c(f) <=> (x<y => f(x)<f(y) )

bs1

En résumé , par exemple:

Définition: Un triangle est rectangle s'il possède un angle droit.

Signification: un triangle est rectangle ssi il possède un angle droit.

C'est ça?
merci

GG

pour moi oui, mais je ne dois pas être dans le bon courant de pensée

Yann.

pour bs : oui

PS : j'ai lu trop vite le titre. Mes messages précédents ne concernaient pas le "si et seulement si" dans les définitions, mais son usage en général. Là, je maintiens ce que j'ai dit : bien montrer aux élèves qu'il correspond à une double implication.

Le barbu rasé

J'ajoute mon grain de sel : si ou ssi m'horripilent tous les deux autant dans une définition, ils n'ont rien à y faire.

Le terme juste à employer, d'après moi, est le verbe être. Point.

Pour reprendre l'exemple de bs : un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.

Toute autre formulation est, selon moi, source de confusion amenant à amalgamer les notion de définition et de proposition dans l'esprit de l'interlocuteur.

ezize

Bonjour,

"Une définition pose une équivalence entre un terme (signifiant) et un sens (signifié). Elle autorise à remplacer le second par le premier et revêt ainsi une utilité pratique." Voilà ce que dit Wikipédia.

On peut dire que cette équivalence n'est pas au sens mathématique puisqu'il n'y a pas lieu de deux propositions mathématiques mais plutôt de la déisignation d'un objet mathématique par un terme.

De ce point de vue, utiliser ssi dans une définition c'est manquer de rigueur et cela peut même, peut-être, embrouiller la compréhension de la vraie double implication entre deux propositions.

GuYem

Le barbu, que penses-tu de cette définition :

Un triangle est dit rectangle si il possède un angle droit.

?

GERARD

Que de puristes !

Et ça passe au dessus de la tête de tous les lycéens (ou presque tous), et même de la plupart des étudiants.

Au lieu de chercher "ce qu'il faut écrire", pensez donc à "comment me faire comprendre". Et si le "si et seulement si" peut faire comprendre, employez le. S'il gène la comprehension, ne l'employez pas ou expliquez-vous.

Cordialement

Sigma

Je suis pour le "lorsque" dans une definition
Il ya deux notions differentes qu'il ne faut pas melanger:

- quel objet mathematique se cache derriere tel terme? Quel sens lui donne t-on?

- A quel structure cet objet est-il equivalent?

Le premier correspond a une definition, le second a un theoreme. .
Le "si" est egalement a bannir, au meme titre que le "ssi". L'emploi de ces termes fait appel a la logique logique, c'est a dire une demonstration.

Un triangle est rectangle lorsqu'il a un angle droit -> definition de l'objet
Un triangle est rectangle ssi il verifie l'egalite de Pythagore -> propriete de l'objet

On ne peut pas utiliser "si" et "ssi", c'est a dire donner des proprietes de l'objet en faisant appel a la logique sans l'avoir au prealable defini, cela n'aurairt pas de sens. Or "si" et "ssi" sont tres connotes logique.

C'est une nuance, sans aucune importance dans les applications mais tres importante sur la construction d'un cours.

Domi

Je ne peux pas être d'accord avec GERARD , le fait que nos élèves ne comprennent pas toutes les subtilités du cours qu'ils suivent ( subissent ) ne nous dispense pas d'une compréhension parfaite des outils que nous utilisons . Ce que que l'on en fait avec les élèves est une autre histoire .

Domi

Guimauve

J'aime bien la proposition du Barbu Rasé. Elle rappelle qu'il y a bien équivalence logique entre definiendum et definiens, sans donner l'impression que cette équivalence est un théorème intéressant (puisque ce n'est rien d'autre qu'une tautologie).

geo

le barbu (mal) rasé:) et ezize ont raison

une fonction croissante sur $I$ est une fonction qui vérifie $\forall x,y\in I
(x\leq y \Rightarrow f(x)\leq f(y) )$


c'est bien plus clair comme ça !!!non?

geoffrey

Richard André-Jeannin

C'est surtout plus long à écrire.

kilébo

Personnellement, je trouve que le membre du jury qui reprochait aux agrégatifs d'utiliser le ssi dans les définitions n'avait certainement rien d'autre à faire.

Désolé, mais pour moi il y a bien plus important que cela à regarder dans une leçon...

Et quant à dire que son emploi impliquerait (j'ai bon ?) une confusion dans le sens d'une définition. C'est vraiment se moquer des agrégatifs.

S'il est certainement vrai que les (certains) élèves ont du mal au début à bien maîtriser la logique de base (la différence entre une condition nécessaire et une condition suffisante est parfois très difficile à enseigner !), je ne peux croire un seul instant que le sens du si, du ssi, du lorsque ou encore du verbe être dans une définition puisse le moindre problème pour un agrégatif... Et dépasse de très loin les préocupations des élèves...

Toto.le.zero

Le "si" est une abérration logique lorsqu'il s'agit de définitions.

vince

La diversité de vos points de vue , pour ma part, vaut le détour.

Je ne suis pas équipé mais je me pose la question sur ce qu'il en est dans les pays étrangers.

Je ne cherche pas pour autant à lancer une conférence mondiale.

merSI.

Vincent.

Richard André-Jeannin

J'ai regardé plusieurs livres en anglais. Dans les définitions, il y a toujours du "if" et pas du "if and only if".

vince

If?
qu'est ce que les conifères viennent faire là dedans?

Aleg

RAJ,
<BR>le "toujours" que vous employez me paraît excessif : on voit quand même très souvent l'abréviation <B>iff</B> pour "if and only if". Peut-être des bourbakistes anglo-saxons..??<BR>

Zantac

"Encore une ptite queqtion m'sieur : Enseignes-tu actuellement Zantac ?
La difficulté de la notion d'équivalence est réelle.
Comprendre l'implication est essentielle avant de passer à l'équivalence..."

Non je n'enseigne pas. Sinon je crois quand même avoir compris la notion d'implication... Je peux passer à l'équivalence tout de suite ?

Richard André-Jeannin

Aleg: "iff" dans un théorème, of course, mais dans une définition?

Aleg

ah, OK, j'avais perdu de vue le contexte...

ezize

Comme pour le "ssi", le "si" dans une définition pourrait aussi compliquer la compréhension même s'il est à prendre au sens linguistique du terme et pas au sens mathématique (où il représente une implication).

Donc, pour contourner ce problème, pourquoi ne pas formuler une définition comme suit :

Un triangle rectangle est dit d'un triangle ayant un angle droit

ou:

Un triangle ayant un angle droit est dit (ou: est appelé) triangle rectangle.

Comme ça les choses sont présentées en français facile à comprendre (une fois les mots utilisés sont connus linguistiquement) ... ce qui permet aux élèves de voir les mots "si" et "ssi", dans une proposition ou autre, comme des mots réservés et qui ont un sens mathématique bien précis, après le leur avoir expliqué...

nicolas.patrois

J’utilise aussi « est » : un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.

bs1

bonjour
une petite synthèse matinale:

classique : ................un triangle est rectangle s'il a un angle droit
version Monier:..........un triangle est rectangle ssi il a un angle droit.
caractérisation:..........un triangle est rectangle ssi il vérifie l'égalité de Pythagore.
le barbu rasé:............un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.
GuYem........................un triangle est dit rectangle si il possède un angle droit.
Sigma.........................un triangle est rectangle lorsqu'il a un angle droit.
RAJ (en anglais ).........a triangle is rectangle if il a un angle droit.
ezize 1........................un triangle rectangle est dit d'un triangle ayant un angle droit.
ezize 2........................un triangle ayant un angle droit est dit triangle rectangle.
ezize 3........................un triangle ayant un angle droit est appelé triangle rectangle.
version nicolas p.........un triangle rectangle est un triangle qui est à la fois un triangle et un rectangle ( pour rigoler)

Que fait-on? on attend de nouvelles propositions de définitions ?on effectue un débriefing ? on passe au vôte ?

Bonne journée à toutes et à tous

Jean-Louis

Bonjour , pour continuer à délirer un peu, un triangle est rectangle si la some des mesures de 2 de ses angles vaut 90° ...
Bonne journée.
Jean-Louis.

P.S. D'ailleurs à ce stade là si on ne sait pas que la somme des trois fait 180°??!!!...

Yann.

Je ne parlais pas pour toi Zantac, pour les élèves en général.
Aujourd'hui encore, j'ai eu une question à ce propos. On devait résoudre une inéquation.
Par exemple : $(x-1)^2$ $\leq$ $4(2x+3)^2$
on démontrait par une suite d'inégalités équivalentes entre elles que cette inéquation était équivalente à : (-3x-7)(5x+5) $\leq$ 0.
Une élève m'a demandé : Mais monsieur, l'inéquation qu'on résoud (la dernière inégalité écrite), ça permetde trouver les solutions de la première ?

C'est pour ça que j'aime bien insister sur condition nécessaire et suffisante. Ensuite, quand ça va mieux, je passe à l'équivalence... tout de suite :-)

Sisbai

Juste pour remettre de l'huile sur le feu, un extrait du rapport de jury 2004 de l'agrég interne :


Rappelons que dans l’énoncé d’une définition, il est incorrect d’employer « si et seulement si ».


a+

Richard André-Jeannin

Comme cela, tout est dit.

Domi

C'est typiquement le genre de remarque des jurys que j'accepte difficilement . Il y a bien d'autres critères pour juger la valeur d'un candidat . J'ai suivi il y a quelques années une guerre de clocher entre deux écoles pour un autre concours et j'ai trouvé cela inadmissible parce que sous ces guéguerres il y avait des candidats et que l'on ne doit pas régler ses comptes de cette façon .

Domi

Charles57

Personnellement, je suis étudiant et que l'on emploie le ssi ou le si dans une définition ne remet pas en cause ma compréhension de celle-ci. Maintenant pour les agrégatifs, s'il est dit de ne pas utiliser ssi dans une définition alors c'est à eux qu'il incombe de ne pas le faire. Pour les professeurs qui enseignent d'une façon ou d'une autre le but est de faire comprendre à l'étudiant. Et s'il comprend d'une manière ou d'une autre le but est atteint.
Je suis pas très clair dans mes explications mais je pense qu'on arrive tout de même à comprendre le sens du message.

GG

... un extrait du rapport de jury 2004 de l'agrég interne :

Rappelons que dans l’énoncé d’une définition, il est incorrect d’employer
« si et seulement si ».

C'est vraiment le poids de l'autorité dans toute son horreur (et son côté ridicule).

Qu'on laisse les gens s'exprimer en français comme ils le désirent :

"on appelle triangle rectangle un triangle qui possède un angle droit",
"on dit qu'un triangle est rectangle lorsqu'il possède un angle droit",
"on dit qu'un triangle est rectangle s'il possède un angle droit",
"on dit qu'un triangle est rectangle si et seulement s'il possède un angle droit",

tant qu'ils sont conscients que s'ils devaient formaliser leur pensée (et c'est la moindre des choses que cette possibilité existe en mathématiques), l'énoncé correspondant serait une équivalence,

et qu'on leur foute la paix.

Dans leur "Introduction à la logique", David, Nour, et Raffalli, (dont on apprend dans l'avant-propos qu'ils sont enseignants de mathématiques, pas uniquement de logique, et chercheurs en théorie de la démonstration, et donnent depuis plusieurs années des cours et des TD dans divers modules de la license et la maîtrise de mathématiques à l'université de Savoie) écrivent p. 6 :

Il est fréquent qu'une définition commence par une phrase telle que "un ... est un ... si ...". Par exemple, "une fonction f est un morphisme si ...". Dans une telle phrase on utilisera indifféremment si et ssi."

Faudra-t-il leur écrire pour leur signifier leur incorrection ???

nicolas.patrois

bs, en restant dans les exercices de style, je m’amuse avec les élèves en début de quatrième à réécrire quelques théorèmes de cinquième et de sixième. Les instructions officielles disent avec raison si… alors…, et je leur demande pour une fois de faire disparaître non seulement les deux mots mais aussi la structure de la phrase, par exemple en n’utilisant qu’un seul verbe, en utilisant toutes les ressources de la langue française. Comme ça, on révise intelligemment.

alvin

bonjour kelkun pe me resoudre cet inéquation svp avan lundi 25 merci bocou cé 2x-(4+x)>3x merci de me rep sur mon adresse