exo oral de l'X!

tata1

bonjour
j'ai un petit exo à vous proposer.
quel est le minimum de (p-1)(q-1)(r-1) quand p, q et r décrivent les entiers naturels non nuls tels que
1/p+1/q+1/r<=1.
en fait j'ai trouvé 8, mais seulemnt par tatonnement. sachant que c'est un exo de l'X, connaissez vous une méthode plus rigoureuse pour le faire?
merci

tata1

j'ai encore une petite question à vous poser !
Trouver tous les polynômes P de R[X] tels que

pour tout k entier naturel non nul : int(k..k+1)( P(t) dt)= 1/k.

C'est un exo d'oral de Centrale. J'ai l'impression que tel polynôme n'existe pas, mais je ne sais pas comment le démontrer.
Qu'en pensez vous ?
Merci infiniment

jacquot

Bonjour tata,
<BR>
<BR>ex1
<BR>tu développes (p-1)(q-1)(r-1) = pqr- (pq+qr+rq) +p+q+r-1
<BR>
<BR>si 1/p+1/q+1/r<=1, alors pq+qr+rp <= pqr
<BR>donc
<BR>
<BR>(p-1)(q-1)(r-1) >= p+q+r-1
<BR>
<BR>si p = q = r = 3, tu as l'égalité (p-1)(q-1)(r-1)=8
<BR>
<BR>les triplets (p,q,r) tels que p+q+r-1<8 ne sont pas légion, je veux dire par là qu'il suffit dès lors d'<B>étudier quelques cas pour montrer que 8 est bien le minimum</B>
<BR>
<BR>p, q ou r ne peut être égal à 1 because 1/p+1/q+1/r<=1
<BR>
<BR>soit p le plus petit des 3 nombres
<BR>p=q=2 est impossible, toujours because...
<BR>(p=2 et q=3) entraîne q >=6 donc p+q+r-1>8
<BR>(p=2 et q=4) entraîne q >=4 donc p+q+r-1>8
<BR>
<BR>
<BR>on a donc p>=3 et les deux autres aussi. alors p+q+r-1>=8
<BR>
<BR>C'est un peu bricolé, mais je pense que ça tient la route, non?<BR>

jacquot

Bonjour tata,
<BR>
<BR>ex1
<BR>tu développes (p-1)(q-1)(r-1) = pqr- (pq+qr+rq) +p+q+r-1

<BR>si 1/p+1/q+1/r<=1, alors pq+qr+rp <= pqr
<BR>donc

<BR>(p-1)(q-1)(r-1) >= p+q+r-1

<BR>si p = q = r = 3, tu as l'égalité (p-1)(q-1)(r-1)=8
<BR>
<BR>les triplets (p,q,r) tels que p+q+r-1<8 ne sont pas légion, je veux dire par là qu'il suffit dès lors d'<B>étudier quelques cas pour montrer que 8 est bien le minimum</B>
<BR>
<BR>p, q ou r ne peut être égal à 1 because 1/p+1/q+1/r<=1
<BR>
<BR>soit p le plus petit des 3 nombres
<BR>p=q=2 est impossible, toujours because...
<BR>(p=2 et q=3) entraîne r >=6 donc p+q+r-1>8
<BR>(p=2 et q=4) entraîne r >=4 donc p+q+r-1>8

<BR>
<BR>on a donc p>=3 et les deux autres aussi. alors p+q+r-1>=8
<BR>
<BR>C'est un peu bricolé, mais je pense que ça tient la route, non?<BR><BR><BR>

OlivierG0

Bonjour,

Pour la première question, il y a peut-être plus élégant, mais on peut procéder ainsi : on pose $f(p,q,r)=(p-1)(q-1)(r-1)$. Soit $(p',q',r')$ tel que $f(p',q',r')$ soit minimum sous la contrainte $\frac{1}{p'}+\frac{1}{q'}+\frac{1}{r'}\leq 1\,\,\,(*)$.
Quitte à permuter $p',q',r'$, on peut supposer que $p'\leq q'\leq r'$. Lorsque $p=q=r$, la contrainte $(*)$ impose $p=q=r=3$, et donc $f(p,q,r)=8$.
Si $p'\geq 4$, alors $8\geq f(p',q',r')\geq 3^{3}=27$; absurde !
Donc, $p'\leq 3$.

Si $p'=2$, alors $\frac{1}{q'}+\frac{1}{r'}\leq \frac{1}{2}$, et donc $q'\geq 3$. Si $q'=3$, alors $\frac{1}{3}+\frac{1}{r'}\leq \frac{1}{2}$, soit : $r'\geq 6$. Mais alors, $f(p',q',r')\geq 2\times 5=10$.
Si $q'\geq 4$, alors $3(r'-1)\leq 8$, donc $r'\leq 3$, ce qui est absurde car $q'\leq r'$.

Le cas $p'=1$ est évidemment impossible.

Donc, $p'=3$. D'où : $(q'-1)(r'-1)\leq 4$, mais comme $3=p'\leq q'\leq r'$, on a donc : $4\leq (q'-1)(r'-1)\leq 4$, donc $(q'-1)(r'-1)=4$ et $p'=q'=r'=3$.

On a donc montré que le minimum de $f(p,q,r)$ sous la contrainte $(*)$ est atteint en un seul point : $(3,3,3)$, et que ce minimum est $f(3,3,3)=8$.

Maintenant, il y a sans doute plus joli...


Amicalement.
Olivier.

tata1

Merci beaucoup pour votre aide
Qu'en pensez-vous ma deuxième question ?

Minijah

Salut,

pour le 2e : une idée qui devrait marcher :

si P convient, $\int_{0}^{n}P=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\sim ln(n)$ quand $n\rightarrow \infty$. Mais pour un polynôme de degré p, cette intégrale est en $n^{p+1}$ à l'infini, contradiction.

shadow1

pour compléter ce que dit jacquot (et éviter de tester tous les couples), il suffit d'utiliser l'inégalité arithmético-géométrique :

$p+q+r \geq 3 (pqr)^{\frac{1}{3}} $ (IAG)
Or
$ (pqr)^{ \frac{1}{3} } \leq \frac{1}{3} ( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} ) \leq \frac{1}{3}$ (re- IAG )
d'où $p+q+r \geq 9$ et on a bien égalité pour $p=q=r=3$

Ok, l'IAG n'est pas au programme des prépas, mais c'est la méthode que j'ai pemployé avec l'examinateur, et c'est visiblement celle qu'il attendait, donc bon, on va pas se priver ...

shadow

Guimauve

shadow tu t'es gourée sur la 2e inégalité je crois, il fallait plutôt écrire :
\[ (pqr)^{\frac{1}{3}} \geq \frac{3}{\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r}} \qquad \mathbf{(inégalité\ géométrico-harmonique)} \]

Pour en déduire effectivement $p+q+r \geq 9$.

Laotseu0

Pour le deuxième exo, tout polynôme non constant tend vers $\pm \infty$ en l'infini, donc il est difficile que l'intégrale entre $k$ et $k+1$ tende vers $0$...

LaoTseu.

shadow1

oups effectivement Guimauve il fallait lire (pqr)^(-1/3) pour la deuxième inégalité.
euh j'avais pas vu ça comme ça, je m'étais contenté d'appliquer l'IAG à 1/p, 1/q et 1/r