les théorèmes de Gödel

galois...

Salut , voila... j'ai terminé de lire les théorèmes de Gödel, et je suis ébahi par la technique utilisée pour les prouver, mais j'ai des questions qui commencent à me tracasser :

1) Je veux savoir lesquelles de ces résultats sont dus à Gödel lui même : lemme diagonale, théorème de la non-définissabilité de la vérité de Tarski.

2) Je pensais que le 2éme théorème de Gödel disait : dans l'arithmétique il existe des propositions qui se démontrent vraies et fausses en même temps. Mais je vois maintenant que ce théorème dit : que dans une théorie consistante incluant (PA-) et prouvant l'absoluité des énoncés de complexité (sigma1), alors cette théorie ne prouve pas sa propre consistance. Je ne vois pas quel est le rapport entre ces deux versions.

Je m'excuse si je dis des bêtises parce que je n'ai pas encore maîtrisé ces résultats, et je remercie tout ceux qui vont répondre..

galois...

Pour préciser, je ne vois pas comment la 2éme version du 2 éme théorème de Gödel qui est générale, implique la premiére version ...

hello1

Bonjour
C'est plus dur à comprendre que le lemme de Zorn ?

bisam

Il me semble (mais tout le monde peut se tromper) que Gödel a montré d'une part que :
- l'arithmétique de Peano est consistante, si on se place dans un de ses modèles et que l'on utilise des axiomes hors de celle-ci.
et d'autre part que :
- pour toute théorie incluant l'arithmétique, il est impossible de montrer sa propre consistance sans sortir de ses axiomes.

Ces 2 énoncés sont indépendants d'après moi.

jean-c_rien1

Bonjour, voici quelques réponses à tes questions :

"lemme diagonale" : il en existe plusieurs version. La version historique, dû à Cantor, dit que card N < card P(N). Elle a été ensuite généralisée à des ensembles queconques. Gödel eu l'idée de l'appliquer, avec grand succès, à la logique, dans son théorème d'incomplétude. Et Lawvere (en fin je croît que c'est lui) en fit le "lemme diagonale" proprement dit, d'une portée totallement générale, qui permet de démontrer le théorème d'incomplétude en quelques lignes gratuitement.

"théorème de la non-définissabilité de la vérité de Tarski" : c'est bien Tarski, mais il est vraissemblable que Gödel connaissait cette interprétation de son théorème, mais il détestait publier ses résultats quand il ne les jugeait pas assez pertinent.

"Je pensais que le 2éme théorème de Gödel disait : dans l'arithmétique il existe des propositions qui se démontrent vraies et fausses en même temps." : non, c'est le premier théorème d'incomplétude, qui dit qu'il exite une proposition indécidable dans toute théorie "forte". Gödel, à juste titre, mais ça prête à confusion, le présente ainsi : il existe une assertion (=une proposition + une signification) qui est vrai (en tant qu'assertion) mais pas démontrable (en tant que proposition).
Le deuxième théorème d'incomplétude dit que la proposition "La théorie est consistante", reflétée dans la théorie elle-même est démontrable ssi elle est fausse! La démonstration est parfaitement rigoureuse, mais elle n'est pas formalisable. Il faut que les expressions est une signification pour pouvoir la prouver! Et c'est bien un corollaire du premier théorème d'incomplétude (version Gödel puisqu'on à besoin du sens des assertions), il suffit (??) de démontrer que si la proposition "La théorie est consistante => G", où G est la proposition indécidable éxhibée par Gödel, est démontrable dans la théorie, alors G l'est aussi (ie G serait une proposition démontrable et plus seullement une assertion vraie). Contradiction.

Cordiallement, jean-c_rien