Matrices semblables
Bonsoir ,
Le résultat suivant est t-il vrai et si oui comment le démontre t-on ?
Si A et B sont deux matrices de Mn(R) alors si A et B sont semblables dans Mn(C) elles sont semblables dans Mn(R)
si B= P ' A P (avec ' pour l'inverse)
alors PB =AP
en décomposant P = R +i S
on arrive à (R + iS)B= A(R+iS) soit RB=AR et SB=AS
et donc si R ou S est inversible alors c'est gagné mais malheureusement on peut avoir P inversible sans que ni R ni S le soient ....
Comme (R+S)B=A(R+S) (ou avec R-S) montrer l'inversibilité de R+S (ou R-S) permet aussi de conclure mais si j'exploite l'inversibilité de P
Celà dit que le système ;
RX -SY =0
SX + RY =0
est de Cramer , mais je ne vois pas comment en déduire que R+S (ou R-S) sont inversibles ...
Bref je patachonne , et remercie d'avance pour une aide .
Madec
Le résultat suivant est t-il vrai et si oui comment le démontre t-on ?
Si A et B sont deux matrices de Mn(R) alors si A et B sont semblables dans Mn(C) elles sont semblables dans Mn(R)
si B= P ' A P (avec ' pour l'inverse)
alors PB =AP
en décomposant P = R +i S
on arrive à (R + iS)B= A(R+iS) soit RB=AR et SB=AS
et donc si R ou S est inversible alors c'est gagné mais malheureusement on peut avoir P inversible sans que ni R ni S le soient ....
Comme (R+S)B=A(R+S) (ou avec R-S) montrer l'inversibilité de R+S (ou R-S) permet aussi de conclure mais si j'exploite l'inversibilité de P
Celà dit que le système ;
RX -SY =0
SX + RY =0
est de Cramer , mais je ne vois pas comment en déduire que R+S (ou R-S) sont inversibles ...
Bref je patachonne , et remercie d'avance pour une aide .
Madec
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Réponses
De RB=AR et SB=AS on a, en posant P(x)=R+xS : P(x)B=AP(x).
Le polynôme det(P(x)) est non identiquement nul sur C (puisque det(P(i)) est non nul), il admet donc un nombre fini de racine. Il existe donc un réel s non tel que det(P(s)) soit non nul, i.e P(s) est inversible et P(s) réelle.
On a donc B=P(s)^-1AP(s)
det (R+xS) est un polynome en x non nul.
Il a donc des non-racines reelles!
C'est joli et conci !
Madec
l'exercice 0.11.43 page 46 du Mneimné de Cassini pourrait vous intéresser.
Merci pour cette référence , mais je n'ai pas ce bouquin ( je ne suis plus étudiant depuis fort longtemps et ne fréquente pas les bibliothèques !). De quoi parle donc cet exercice ?
Madec