Ensemble denombrable?

B_J

Bonsoir ,
L'ensemble des ensembles dénombrables est-il dénombrable ?
Merci

Domi

S'il existe ce dont je doute , il n'a aucune chance d'être dénombrable .

Domi

B_J

pourquoi ne peut-il pas exister ?
merci

Aleg

sur la question de l'existence j'ai le même doute que Domi, car, comme l'un ne va pas sans l'autre, alors, moyennant l'hypothèse du continu, la réunion de l'ensemble des ensembles au plus dénombrables et de l'ensemble des ensembles infinis non dénombrables nous fournirait l'ensemble de tous les ensembles, dont l'existence est paradoxale.

GG

bonjour,
si c'était un ensemble, il contiendrait entre autre par exemple l'ensemble k de tous les ensembles de la forme {{x}, {0,1}, {0,2}, {0,3}, ...}. On aurait donc une bijection entre k et l'univers, qui serait donc un ensemble d'après le schéma de remplacement.

watercat

Si $E$ est un ensemble, il définit un singleton $\{E\}$, de telle fa\c con que $\{E\}=\{F\}$ si et seulement si $E=F$. Donc l'"ensemble" des singletons n'est meme pas un ensemble.
Watercat

Aneonym

Ceci est un test

Bruno

ptitloupfouchou

Je ne comprends pas ta démonstration Aleg ... dans ta démonstration tu supposes l'existence de l'ensemble des ensembles infinis non dénombrables ... mais un tel ensemble en reprenant ta démonstration ne peut exister :


sur la question de l'existence j'ai le même doute que Domi, car, comme l'un ne va pas sans l'autre, alors, moyennant l'hypothèse du continu, la réunion de l'ensemble des ensembles infinis non dénombrables et de l'ensemble des ensembles au plus dénombrables nous fournirait l'ensemble de tous les ensembles, dont l'existence est paradoxale.


et le serpent se mord la tête


je trouve moins paradoxical l'existance d'un ensemble des ensembles infinis dénombrables : en effet il serai clairement indénombrable car il contiendrait les parties de $\N$ donc ce n'est pas un ensemble qui se contient lui même alors que l'ensemble des ensembles infinis non dénombrables : ce dernier se contient lui même ... problême

ptitloupfouchou

(oups c'est le serpent qui se mort la queue sorry :$ )

B_J

je ne comprends pas votre raisonnement mais merci quand meme

Domi

Pour redescendre un peu sur terre , rappelons quand même ( petit hommage à Cantor ) que l'ensemble des parties de $\N$ ( qui existe bel et bien, lui ) , n'est pas dénombrable .

Domi

Aleg

attention ! pour ma part, ça n'était pas vraiment un raisonnement mais juste une impression.

Il me semblait que si on pouvait définir un ensemble $E$ par la propriété : $X\in E$ ssi $X$ est un ensemble au plus dénombrable, alors cela impliquait qu'on puisse aussi définir un ensemble par la propriété contraire, etc..
Mais cette impression est peut-être trompeuse.

j'attends que les spécialistes de ces questions sur le forum nous donnent un avis autorisé sur la question posée.

Domi

On ne peut pas définir $E$ par la propriété ... , ni par la Propriété "contraire" , la définition d'un ensemble doit suivre certaines règles si on ne veut pas sombrer dans les fameux paradoxes connus .

Domi

GG

Mon petit raisonnement n'a pas l'air de recueillir beaucoup de suffrages
Je le détaille donc un peu :

Supposons qu'il existe un ensemble E de tous les ensembles dénombrables.
Soit a = { {0, n} | n € N* }, rigoureusement :
a = { u € P(N) | il existe n tel que ( n € N* et u = {0, n} ) } dont l'existence est garantie par le schéma de compréhension (et l'unicité par l'axiome d'extensionalité).

Pour tout ensemble x, l'ensemble {{x}} U a est dénombrable.
On a donc pour tout x, {{x}} U a € E, ce qui montre l'équivalence, pour tout y :
il existe x tel que y = {{x}} U a <=> (il existe x tel que y = {{x}} U a ) et y € E
Ainsi, par le schéma de compréhension, la collection C(y) définie par "il existe x tel que y = {{x}} U a" est un ensemble k, partie de E, soit
k = {y € E | il existe x tel que y = {{x}} U a}

Je considère maintenant la relation F(y,x) à deux variables libres "y = {{x}} U a". C'est une relation fonctionnelle en x de domaine k et d'image tout l'univers :

Petit rappel : une relation F(y,x) est dite fonctionnelle en x lorsque
F(y,x) et F(y,x') => x = x'
Son domaine est par définition la collection D(y) := il existe x tel que F(y,x),
et son image est par définition la collection D(x) := il existe y tel que F(y,x).

Dans notre cas, "y = {{x}} U a" est fonctionnelle en x puisque si l'on a {{x}} U a = {{x’}} U a, comme a n'est formé que de paires, {{x}} et {{x’}} sont les seuls singletons et x= x'.
Son domaine est la collection "il existe x tel que y = {{x}} U a" soit précisément la collection C(y), soit encore l'ensemble k,
et son image est la collection "il existe y tel que y = {{x}} U a" qui est vérifiée bien entendu pour tout ensemble x, c'est donc l'univers.

Ainsi, le schéma de remplacement s'applique pour k et la relation F(y,x) : il résulte que l'univers est un ensemble, contradiction. (si l'univers était un ensemble, la collection des x tels que non x € x serait un ensemble h d'après le schéma de compréhension et l'on aurait h € h <=> non h € h, ce qui est faux.)


[Corrigé selon tes indications. AD]

GG

errata : à la place de {x}, lire partout {{x}}, de même pour x'

hello1

pour répondre directement à la question : il ya 2 possibilités

Soit la réunion de tout les ensembles dénombrables est éffectivement un ensemble et auquel cas il n'est pas dénombrable puisqu'il contient l'ensemble des parties de $\N$ qui n'est pas dénombrable.

Soit cette réunion n'est pas un ensemble, c'est alors une classe, une sorte de super ensemble, mais sur lequel on ne peut pas faire grand chose en particulier définir une dénombrabilité.

Domi

Oui GG , c'est ensemble n'existe pas .

Plus simplement , je m'interrogeais sur l'ensemble des parties finies de $\N$ et sur celui des parties dénombrables ( au sens strict ) de $\N$ . Ces deux ensembles n'ont pas l'air dénombrables mais comment le montrer ?

Domi

egoroff

Domi : l'ensemble des parties finies de $\N$ est dénombrable puisqu'il s'écrit $\bigcup_{n \in \N} \mathcal{P}(\N \cap [0,n])$ où les termes de la réunion sont finis.

Ane onym

Bonjour Domi.

L'ensemble des parties finies de $\N$ est dénombrable puisque c'est une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables. L'ensembles des parties cofinies également. L'ensemble des parties infinies/non cofinies a la puissance du continu.

Bruno

Domi

D'accord Bruno ,

j'avais complètement oublié les réunions dénombrables de dénombrables . En partitionnant alors $P(\N)}$ en deux parties , les parties finies de $\N$ qui sont dénombrables et les autres , on a directement que les parties dénombrables de $\N$ ( au sens strict ) ne sont pas dénombrables .

Merci .

Domi

Le barbu rasé

M'enfin je comprends pas.
On parle de la collection des ordinaux dénombrables ou des ensembles dénombrales ???
Parce que clairement, la seconde ne peut être un ensemble : tous les {E} avec E un ensemble lui appartiennent, donc si c'était un ensemble on pourrait produire sa réunion F, qui serait alors un ensemble contenant la collection des ensembles...

GG

salut,
il me semble qu'on a parlé de la collection des ensembles dénombrables, qui n'est pas un ensemble, puis
de l'ensemble des parties finies de N qui est dénombrable,
et enfin de l'ensemble des parties dénombrables de N qui n'est pas dénombrable.