Bon ordre sur R.

Jean-Louis4

Bonjour,
on sait que si on admet l'axiome du choix,il existe un bon ordre sur R.Mais ce bon ordre ne peut pas faire de R muni de cet ordre un ensemble isomorphe à R muni de l'ordre usuel .Donc dire qu'on peut munir R d'un bon ordre me parait un peu "incorrect" parce que ce R là ne serait pas le R usuel( qui est déjà muni d'une structure de corps ordonné) ...Bon je m'emmèle un peu les pinceaux...
Ai-je tort?
Merci d'avance.
Cordialement.
Jean-Louis.

gnome

Quand on dit qu'on peut munir R d'un bon ordre, on le voit uniquement en tant qu'ensemble, on ne considère pas du tout la topologie sous-jacente, par exemple (qui est induite par l'ordre usuel).

Donc tout dépend ce que tu appelle R (càd quelle structure tu lui ajoutes implicitement), mais l'ensemble R peut bien être muni d'un bon ordre.

Jean-Louis4

Salut Gnome ,
je suis d'accord ,mais si tu construis R par exemple par les coupures de Dedekind, ça devient de fait un ensemble muni d'une structure particulière. Je ne vois pas ce que peut être R sans sa structure de corps sous-jacente.
Cordialement.
Jean-Louis.

GERARD

Jean-louis, tu sembles avoir des difficultés à "oublier" l'ordre de fabrication. Mais c'est ce que tu fais dans la vie courante : Si tu joues aux cartes, tu tries tes cartes sans t'occuper de l'ordre dans lequel tu les as regardées; Si tu joues aux dés, que tu obtiens 1,4 et 2, tu as fait un 421.
Ici, l'idée est la même.

Cordialement

Jean-Louis4

Bonjour Gérard,
Oui ,mais si le R que l'on utilise ,s'il n'est pas muni de son ordre habituel, ce n'est plus le même R ( enfin,il me semble). Ca me choquerait moins pour N que l'on définit en termes ensemblistes avec les ordinaux.
Faut que je m'y fasse.
Cordialement.
Jean-Louis.

@l

Salut,

il ne s'agit pas vraiment de $\R$ mais de tout ensemble équipotent à $\R$, en fait.
Il est vrai que $\R$ est uniquement déterminé par sa structure et donc ce n'est pas l'ensemble et sa structure qui sont bien ordonnés. En ce sens, Jean-Louis a raison.
Le lemme de Zermelo est peut-être plus compréhensible dans sa version (équivalente):

Tout ensemble a un cardinal.

@l

GERARD

Ah bon ? le jeu de cartes non trié n'est plus le même jeu ? Jean-luois, est-ce que tu ne pinailles pas un peu ?
Et je ne suis pas d'accord avec @l. $\R$ est le premier ensemble ayant la puissance du continu que l'on rencontre (Et les autres sont construits essentiellement en référence à lui. Je néglige les segments et droites géométriques pour lesquels la notion de continu est cachée tant qu'on ne fait pas appel à la bijection avec $\R$). Donc reprendre l'ensemble pur $\R$ n'est pas changer d'ensemble.

Cordialement

Jean-Louis4

Merci @l...
Pour Gérard oui je pinaille un peu mais je ne fais des maths que pour mon plaisir ,alors j'essaie de comprendre le vrai sens de tout ce qu'on manipule.
Cordialement.
Jean-Louis.

Jean-Louis4

Merci @l...
Pour Gérard oui je pinaille un peu mais je ne fais des maths que pour mon plaisir ,alors j'essaie de comprendre le vrai sens de tout ce qu'on manipule.
Cordialement.
Jean-Louis.

@l

Non, le jeu trié n'est plus le même jeu, à partir du moment où on considère non pas l'ensemble-jeu seul mais l'ensemble jeu + une relation qui exprime l'ordre. Ils auront par contre le même ensemble de base qui l'ensemble des cartes du jeu.
Par exemple, soit l'ensemble ${a,b,c,d}$. On peut poser deux lois de groupe abélien; les deux groupes ainsi formés ne seront pas {\bf isomorphes} mais auront même ensemble de base.
Pour en revenir à $\R$, implicitement $\R$ n'est pas vraiment un ensemble mais un ensemble structuré.
Dans le cas où on considère $\R$ vraiment comme ensemble, alors on ne peut le distinguer de n'importe quel autre ensemble qui lui est équipotent.

Ce que dit Zermelo, c'est qu'un ensemble (juste un ensemble) peut être bien ordonné; du coup, il en va de même pour tous les ensembles qui lui sont équipotents. Donc $\R$ en tant que corps ordonné ne peut pas être bien ordonné mais l'ensemble de base, à équivalence près, peut l'être.

Il ne faut oublier qu'en maths, tous les objets sont déterminés à isomorphisme près et qu'on enrichit volontairement les structures sur les ensembles pour pouvoir les classifier.

@l

clotho...0

Pour @,

Bonjour,

Je me permets de m'imiscer dans ce fil que je trouve très instructif, même si je ne comprends plus trop les allusions de Gérard à la fin (puissance du continu...etc.).

Par contre, je ne vois pas trop comment établir une relation d'ordre sur un jeu de cartes données. Peut-être quelque chose proche de l'ordre lexico-alphabétique alors...non?

Cordialement,
Clotho.

GERARD

@l, cette fois-ci c'est moi qui pinaille (mais je suis parfois très platonicien : Pour moi les réels ne sont pas seulement une convention). Alors voilà ma question : Comment peux-tu établir une bijection entre deux ensembles si tu ne sais pas les distinguer sous prétexte qu'ils sont isomorphes ? Ton explication se mord la queue !

Cordialement

gnome

Ce qui nous ammène à une question essentielle : quel est le cardinal de 2 ? ;-)

R est construit à partir de Q comme un quotient de certaines parties de Q par une relation d'équivalence, l'intuition qu'on a de cette relation d'équivalence nous est donné par l'ordre (plus précisément la définition en compréhension de cette relation nous est donnée par l'ordre), mais finalement une relation d'équivalence, ce n'est qu'un sous-ensemble des couples sur ton ensemble, qui vérifie les bonnes propriétés (transitivité, etc), et là, l'ordre n'intervient plus (càd si tu te donne la définition de cette relation en extension).

En bref, R est un ensemble bien défini indépendemment de toute notion d'ordre.

D'ailleurs deux constructions différentes de R (par exemple par les coupures, et par les suites de Cauchy) donnent probablement des ensembles formellement différents, mais que l'on associe car ils sont en bijection (et même mieux, ils ont tous les deux une topologie naturelle et sont homéomorphes, et sont tous les deux des groupes et sont isomorphes ...)

Ainsi, on appelle toutes ces construction R car quelque part, on fait une identification. (on prétend même que N est inclus dans R, alors que c'est formellement absurde, puisque le cardinal de 2 comme entier naturel est fini, alors que son cardinal comme nombre réel est infini. On identifie en fait 2 avec la classe de (2,1), que l'on écrit 2/1 et qui est un rationnel, et encore ce rationnel avec l'objet le représentant dans R, dépendant de la construction choisie)

Quand on met une topologie sur R, on la met sur un de ses représentants (on les identifie ainsi à homéomorphisme près).

Quand on dit qu'on met un bon ordre sur R, on le met à un de ses représentants (identifié à bijection près). Et on l'appelle R. Ainsi, on peut munir R d'un bon ordre, en ce sens.

Jean-Louis4

Oui Gnome , mais ta relation déquivalence c'est un ensemble de couples ,oui, mais ces couples ne sont -ils pas déterminés en relation avec une relation d'ordre sur Q?
Cordialement.
Jean-Louis.

gnome

Ce que je veux dire, c'est que par exemple &quotl'ensemble des entiers supérieurs ou égaux à zéro", c'est défini en compréhension par l'intermédiaire d'un ordre, mais rien ne m'empêche d'appeler cet ensemble $\{0, 1, 2, ... \}$. C'est alors un ensemble bien défini indépendemment d'un ordre (définition en extention).

Pour les coupures, pareil : c'est pratique de définir la relation d'équivalence à partir de l'ordre (et ça permet de transmettre l'ordre sur Q à ton ensemble quotient - à savoir R), mais fondamentalement, l'existence de cette relation d'équivalence n'est pas liée à l'existence d'un ordre sur Q.

GG

bonjour gnome,

Ce qui nous ammène à une question essentielle : quel est le cardinal de 2 ? ;-)

Désolé de te contredire, mais il me semble que non seulement cette question n'est pas essentielle, mais elle n'a à proprement parler pas de sens.

gnome

Bien sur que si, elle a un sens (mais qu'elle n'ait qu'un intérêt capilotracteur, je suis tout à fait d'accord, j'étais un peu ironique).

Comme entier naturel, on définit:

$0 = \emptyset = \{ \}$
$1 = 0 \cup \{ 0 \} = \{ \emptyset \}$
$2 = 1 \cup \{ 1 \} = \{ \emptyset , \{ \emptyset \} \}$

Donc le cardinal de 2 comme entier naturel est deux.

Ensuite, quand on construit la bijection de $\N$ sur $\Z$ pour définir les négatifs, le cardinal va augmenter mais rester fini, le cardinal de 2 comme nombre rationnel est infini dénombrable (comme classe d'équivalence infinie de couples d'entiers), etc.

Tout ça pour dire qu'on peut se poser des questions sur les fondements des mathématiques, mais qu'il faut savoir s'arrêter. Aurais-je raté le coche ?

GG

1° j'appelle A l'ensemble formé de
{}
{{}}
{{}, {{}}}
{ {}, {{}}, {{}, {{}}} }
etc

2° j'appelle B l'ensemble formé de
{}
{{}}
{{{}}}
{{{{}}}}
etc

3° je prends un ensemble infini I quelconque, une bijection f de I dans une partie propre I' de I, et a € I \ I'
J'appelle C l'ensemble formé de
a
f(a)
f(f(a))
f(f(f(a)))
etc

Ces trois ensembles A, B, C sont d'honnêtes candidats pour l'ensemble N des entiers naturels dont les platoniciens pensent qu'il trône dans le monde idéal des idées, n'est-ce pas ?

Alors je te renvoie ta question : le cardinal du nombre naturel 2, c'est 2, 1, ou le cardinal de f(f(a)), soit une valeur arbitraire ?

Le barbu rasé

gnome : >


Je n'en ai pas l'impression. Ma définition de $\Z$ c'est le quotient de $\N \times \N$ par la relation $(a,b) \equiv (c,d) \Leftrightarrow a+d = b+c$. Donc le $2$ de $\Z$ est la classe de $(2,0)$ donc $\{(2,0),(3,1),(4,2),...\}$ qui est bien dénombrable mais pas fini.

michael

pour suivre le topic sur mon mail

GERARD

A tous :
Voila le résultat des définitions formelles, les conséquences qu'on en tire sont aussi formelles. Et incohérentes d'un type de formalisation à un autre. Je vous rappelle qu'un grand ancien (Euclide, lui-même) disait que 1 est l'unité et que le nombre commence à 2. Et faisait de bonnes mathématiques.

Alors renvoyons les définitions formelles à un seul usage : Essayer de garantir (Car c'est l'essentiel, même si on n'y arrive pas parfaitement) la cohérence des règles mathématiques usuelles.

Cordialement

Le barbu rasé

Gérard : je ne comprends pas ou je ne suis pas d'accord. La théorie des modèles permet de démontrer des résultats intéressants et non triviaux en algèbre, il y a d'ailleurs eu un post à ce sujet récemment.

GERARD

Je ne conteste pas l'intérêt "en soi" des recherches sur la logique, que ce soit en logique modale ou avec les modèles, je dis simplement que les mathématiques ne relèvent pas d'une seule formalisation, et que croire qu'une formalisation (ensembliste par exemple) donne la "vérité" des mathématiques amène à des désillusions.
Plus précisément, si on veut travailler avec la notion de réel, il est en général sans intérêt de savoir comment on les a construits, et dans ce cas, se poser la question de la signification de "2 est un réel" est superflu. De la même façon, "le cardinal de 2" est une question sans intérêt pour calculer simplement, et n'a de sens que dans une construction particulière des réels. Très souvent, en mathématiques, on n'a besoin que de $\R$ obtenu comme ensemble possédant quelques propriétés (Ensemble "nu", corps, corps ordonné archimédien, espace complet, suivant ce qu'on veut faire). Dans ce cas là, on est bien "à un isomorphisme près" comme le disent @l, Gnome, et d'autres bons auteurs. Et on se moque de l'isomorphisme, car la question n'est pas là.

Cordialement

GERARD

Réponse (tardive) à Clotho :
Les bridgeurs ont un ordre classique : Dans chaque couleur, l'ordre habituel : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi; Entre les couleurs, par ordre croissant encore Trefle, carreau, coeur, pique.
Comme tout ordre, il est en partie arbitraire.

Cordialement

Le barbu rasé

Gerard : je comprends bien votre argumentation. J'y suis acquis, je dirais même que vous parlez d'or dans votre premier paragraphe !

Par ailleurs, je pense toujours que toute question est bonne à poser...

Arthas

Bonsoir
Il est vrai que ZF est une très belle théorie des ensembles, mais dans la pratique, on ne l'utilise pas en elle même, sauf pour les parties, l'union lorsque on a des ensembles d'ensembles etc. En fait je pense que ZF est un bon formalisme pour définir des objets, puis de les transposer dans d'autres domaines (au sens propre, comme au figuré) en effectuant un isomorphisme convenable et ainsi d'être assuré de l'existence de ces objets. Mais alors, on ne prend plus que ce qui nous sert dans ce domaine (plus besoin de connaître le cardinal de 2, de voir que N s'injecte dans R mais n'est pas inclus dans R etc). Je pense que cela rejoint l'autre discussion (questions sur ZF) : on peut limiter le nombre d'axiomes pour la théorie des ensembles que l'on utilise : on ne garde que ceux qui sont utiles. On utilise toujours des ramifications de ZF quelque part, donc la recherche sur ZF demeure capitale ! Mais je n'ai pas encore beaucoup d'expérience en la matière, donc pardon si je me fourvoie...
Arthas

GG

ZF, c'est le paradis, mais c'est comme toute bonne chose, on s'habitue, on oublie, et les ingrats finissent par renier

Arthas

Bonjour
$\N$ peut etre défini dans ZF comme la structure où s est la fonction successeur des ordinaux, qui vérifie les axiomes de Peano, et ceci à un isomorphisme près. Puis , par quotientages successifs, on définit $\Z$, $\R$ etc, de la meme manière, à un isomorphisme près. Donc on ne peut pas parler de $\R$ comme un ensemble, une simple structure , car il serait défini à un isomorphisme près, ie à une bijection près, donc ne serait pas si différent de $\C$ ou de $\R^{8}$. $\R$ en tant que corps est défini de la manière précédente à un isomorphisme près. Donc comme l'a dit gg, $\N$ étant défini de plusieurs manières différentes, le $\R$ qui s'en déduit l'est également. Le cardinal de 2 n'intervient pas puisque les isomorphismes ne le conserve pas. Le fait de pouvoir mettre un bon ordre sur $\R$, comme sur tout ensemble de ZFC signifie que le $\R$ de peut etre muni d'un bon ordre