Règles des signes

cedric561

Bonsoir
Par curiosité, que répondriez-vous si un élève vous demandait pourquoi "moins fois moins donne plus" ?

Bruno

Je lui lirais Stendhal et d'Alembert :-)) Puis je lui composerais deux symétries centrales.

Bruno

Probaloser

On peut toujours en donner la démonstration.

jacquot

Je pense que c'est un élève de Quatrième.

on peut lui faire calculer de 2 façons:
$$3 * (-2 + 2)$$
en postulant que la distributivité s'applique aussi aux nombres négatifs.

puis $$(-3+3)*(-2)$$

J'avoue que dans mes classes de Quatrième, la plupart des élèves sont bien mieux convaincus par le fait que la calculatrice donne $(-2)*(-3) = +6$

Je leur fais aussi découvrir la règle des signes en considérant dans un repère une ligne polygonale ayant vaguement la forme d'une voiture puis en lui faisant subr une homothétie de rapport +2: (les dimensions de la voiture ont doublé)
et une homothétie de rapport (-3): ses dimensions ont triplé et la voiture s'est renversée.
D'autres activités sont possibles, (compléter des tables de multiplication), mais à la question POURQUOI, la réponse la plus rigoureuse me semble être le {\bf prolongement par distributivité}

Je pense que ma réponse reprend celle de Bruno.
Cordialement

Toto.le.zero

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Avogadro

Démonstration un peu limite pour un 4ème :

2 pré-requis :
1) On admet que la distributivité peut être étendue sur les entiers négatifs
2) 1 est élément neutre sur Z

Allons-y

0 = (-1) + 1
donc

0 = (-1)*( (-1) + 1 ) = (-1)*(-1) + (-1)*1
= (-1)*(-1) + (-1)

ce qui prouve que (-1)*(-1) et (-1) sont opposés
donc (-1)*(-1) = 1

Toto.le.zero

Soit (A,+,.) un anneau commutatif unitaire.
<BR>
<BR> <B>Lemme 1: </B> Pour tout x dans A, x.0=0
<BR>
<BR> <I>preuve: </I> en effet, rappellons que par définition de 0, on a 0+0=0 (vrai dans n'importe quel groupe) donc x.(0+0)=x.0 d'où, x.0+x.0=x.0
<BR>Par suite, en simplifiant par x.0 dans le groupe (A,+), on a le résultat.
<BR>
<BR> <B>Lemme 2: </B> Pour tout x dans A, on a: (-x)= (-1).x
<BR>(où (-x) désigne l'inverse de x pour la loi additive, et 1 désigne l'élément neutre pour la loi multiplicative)
<BR>
<BR> <I>preuve :</I> Il suffit d'utiliser la distributivité:
<BR>x.(1+(-1))= x.0 = 0 d'après le lemme 1
<BR>et x.(1+(-1)) = x.1 + (-1).(-x) = x + (-1).(-x)
<BR>Par suite, on a donc, x +(-1).(-x)=0, d'où (-1).(-x)=(-x).
<BR>
<BR> <B>Corollaire: </B> (-1).(-1)=1
<BR>
<BR> <I>preuve :</I> d'après le lemme 2, on a (-(-1))=(-1).(-1). Or dans le groupe (A,+), on a pour tout x, -(-x)=x (évident). D'où le corollaire
<BR>
<BR> <B>Théorème: </B> Soient x et y dans A. Alors, (-x).(-y)=x.y
<BR>
<BR> <I>preuve: </I> d'après le lemme 2, (-x).(-y)=(-1).x.(-1).y puis par commutativité de l'anneau, on a donc (-x).(-y)= (-1).(-1).x.y
<BR>On conlut avec le corollaire. CQFD.

<BR>:D
<BR>P.S: Nous ne voyons pas d'autre explication<BR>

GERARD5

Une idée géométrique (que l'on peut compliquer ensuite). On part d'un carré de côté c. On lui enlève une partie C du côté, sur chaque côté, ce qui laisse un carré de côté (c-C). Un raisonnement sur les surfaces donne :
(c-C)² = c² - 2 cC (on enlève deux rectangles) + C² (il faut rajouter le carré qu'on a enlevé deux fois).
Par identification au développement de (c-C)(c-C) on voit que -C multiplié par -C donne +C².
On peut commencer en traitant le cas simple d'enlever C à un seul côté, et généraliser avec un rectangle sur lequel on enlève des marties de côtés.

Au passage, on a rencontré l'identité remarquable (a-b)².

Il reste à étendre la règle aux négatifs en remarquant que a - b = a + (-b)

Cordialement

NB : En aucun cas ceci n'est une démonstration

GrandFrisson

Bel échange, merci à toutes et à tous.

L'aspect physique est des plus intéressant!
http://xavier.hubaut.info/coursmath/doc/signes.htm

GrandFrisson

La compatibilité du produit des entiers relatifs avec la distributivité est un maître argument.
Mais la compatibilité de ce produit avec l'ordre doit aussi être mentionnée.

Si on accepte, et là tout le monde est d'accord, que $- \times + = -$,
on est bien forcé d'énoncer le fameux: "quand on multiplie les deux membres d'une inégalité portant sur des nombres positifs par un nombre négatif, l'inégalité change de sens".
$$+3 \leqslant +4 \iff (-2)(+3)=-6 \geqslant (-2)(+4)=-8$$
Pour prolonger cette règle lorsqu'on part d'une inégalité impliquant des nombres négatifs, on doit alors poser $- \times - =+$.
$$-2 \leqslant +1 \iff (-3)(-2)=+6 \geqslant (-3)(+1)=-3$$
Eh oui, c'est bien l'argument dont je me souviens et qu'avait proposé mon prof quand j'avais 12-13 ans, au début des années 70... (la grande époque (épopée?) des "maths modernes").

L'objection qu'on peut formuler à l'encontre de ces justifications (on fait ça parce qu'on désire étendre telle règle, etc) est qu'on ne fournit pas d'explication réelle à la règle: on le fait parce qu'on y est bien obligé! De ce point de vue, le plus bel argument justifiant la règle des signes est peut-être celui évoquant le produit des rapports dans la composition des homothéties (voir plus haut).

christophe c

L'argument de Gérard est pas mal me semble-t-il (mais il faudrait l'écrire concrêtement).

Sinon, dès lors qu'on accepte que $(-1) \times x=(-x)$ pour tout $x$ et l'associativité alors

$(-2)\times (-3) = ((-1) \times 2)\times (-3) = (-1) \times (2\times (-3) ) = (-1) \times (-6) = -(-6) = 6$

Par ailleurs, $(-1) \times x = (-x)$ est une conséquence de:

$0 = 0\times x = (1+(-1)) \times x = x + ((-1)\times x)$ et pour tout $a,b: (a+b=0)$=>$b=(-a)$