Polygone constructibles

Utilisateur anonyme

Bonsoir,

Voici un théorème généralisant l'exercice que j'ai donné précédemment ("Règle, compas et ..."):

Un $n$-gone régulier est constructible à la règle, au compas et au trisecteur (permettant de construire le tiers d'un angle déjà construit) si et seulement si les seuls facteurs premiers de $\phi (n)$ sont $2$ ou/et $3$.

J'ai une solution pour mon exo de départ mais pas pour ce théorème ...

@+

Fadalbalambroum

Trisecter un angle revient a autoriser des extensions de degre 3 si je ne m'abuse.

Une extension cyclotomique $\mathbf{Q}(\zeta)$ associee a une racine primitive n-ieme de l'unite $\zeta$ est de degre $\phi(n)$ et son groupe de Galois est isomorphe a $(\mathbf{Z} / n \mathbf{Z})^{\times}$ (groupe des inversibles pour la multiplication).

Ce groupe etant abelien, tu pourras toujours le resoudre par des groupes cycliques d'ordre 2 et 3 des lors que son cardinal est $2^m 3^k$. Reciproquement effectuer la construction avec regle, compas, et trisecteur, signifie que ce groupe est resoluble par facteurs isomorphes a $\mathbf{F}_2$ ou $\mathbf{F}_3$ (d'apres ma premiere remarque). Donc son ordre s'ecrit $2^m 3^k$.

Ca fait longtemps que je n'ai pas fait de theorie de Galois (en particulier des polygones constructibles) alors faut verifier ce que je dis.

Fadalbalambroum

Par contre il serait interessant de savoir si il y a un analogue du theoreme de Wantzel dans ce cas, ce qui reviendrait a se demander si un groupe de Galois d'ordre $2^m 3^k$ est resoluble. Meme si c'est faux ce n'est pas grave pour ta question parce que le groupe dont on part est {\bf{abelien}}.

Fadalbalambroum

Autre remarque: dire que $\phi(n)$ s'ecrit $2^m$ est equivalent a $n$ egal au produit d'une puissance de 2 par un produit de nombres de Fermat premiers. Mais si $\phi(n)$ s'ecrit $2^m 3^k$, que peut on dire de $n$?

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Quels sont les 10 premiers polygones constructibles svp?

nicolas.patrois

Ta question est mal posée.