Fonctions höldériennes

egoroff

Bonsoir à tous,


J'ai encore une petite question concernant les fonctions höldériennes. Je suis sûr que le problème que je me pose a déjà été étudié mais je n'ai rien trouvé à ce propos, ni dans ma littérature ni sur le net.


Voilà le cadre pour ceux qui ne connaissent pas : je prends un espace métrique compact $(E,d)$ et un réel $\alpha \in ]0,1]$. Une fonction $f \, : \, E \to \R$ est dite höldérienne d'exposant $\alpha$ si et seulement s'il existe un réel $k \geq 0$ tel que :
$$\forall (x,y) \in E^2, \, |f(x)-f(y)| \leq k.d(x,y)^{\alpha}$$
L'ensemble des fonctions höldériennes est (souvent) noté $Lip^{\alpha}(E)$. Une fonction höldérienne est clairement continue, donc $Lip^{\alpha}(E) \subset C(E)=C(E,\R)$. D'autre part si $0 < \alpha \leq \beta \leq 1$ on a $Lip^{\beta}(E) \subset Lip^{\alpha}(E)$ de sorte que les $Lip^{\alpha}(E)$ forment une famille décroissante d'espaces. Dans le cas $\alpha=1$ on retrouve les fonctions lipschitziennes.


J'en viens à ma question. Je définis les ensembles (notations inventées pour l'occasion) :
$$Lip^{1-}(E)=\bigcap_{0 < \alpha < 1} Lip^{\alpha}(E)$$
$$Lip^{0+}(E)=\bigcup_{0 < \alpha < 1} Lip^{\alpha}$$
Que peut-on en dire ? On a clairement $Lip^{1}(E) \subset Lip^{1-}(E)$ et $Lip^{0+}(E) \subset C(E)$ mais que dire des inclusion réciproques ? Et dans le cas plus simple où est un compact de $\R^d$ ou même de $\R$ ? Et si $E$ n'est pas compact ?


Si vous avez des infos pour moi, ou des idées qui vous viennent à l'esprit, je vous en serai éternellement reconnaissant car je ne sais pas par où commencer (comme je n'ai aucune idée à propos des inclusions réciproques je ne sais pas si je dois essayer de les prouver ou bien trouver des contre-exemples). Toute proposition, même stupide, est la bienvenue. Désolé pour la longueur rebutante du post et félicitations si vous avez réussi à tenir jusqu'ici.


Merci d'avance,


Dimitri Fédorovitch.

egoroff

J'ai oublié de dire que les $Lip^{\alpha}(E)$ sont des espaces vectoriels, et dans le cas $E$ compact, des espaces de Banach à condition de les munir de la norme $\displaystyle ||f||_{\alpha} = ||f||_{\infty} + |f|_{\alpha} = \sup_{x \in E} |f(x)| + \sup_{x,y \in E, \ x \neq y} \frac{|f(x)-f(y)|}{d(x,y)^{\alpha}}$.


On peut sans doute munir $Lip^{1-}(E)$ d'une structure d'espace de Fréchet grâce à la famille de semi-normes $||f||_{1-1/n}$ (je sais, ça sonne pédant, mais c'est comme ça qu'on dit dans les textes d'autorité) ?

corentin0

Pour $L^{0+}$, l'inclusion réciproque a l'air fausse puisque si une fonction est dans l'union des $L^{\alpha}$, ça veut dire qu'il existe $\alpha$ tel que $f\in L^{\alpha}$.
Du moment qu'on a une fonction complètement pas holdérienne (ça existe ça? si ça existe, l'escalier de Cantor doit convenir) c'est cuit non?

egoroff

Ouais.. merci corentin de me casser mes belles illusions ! Je pensais avoir inventé des espaces intéressant. Effectivement j'aurais dû réfléchir à la définition de l'union avant d'ouvrir la bouche.


Effectivement l'escalier de Cantor convient certainement puisqu'il n'est pas absolument continu alors qu'une fonction höldérienne a l'air de l'être.


Bon, tu as tué mon premier espace, j'espère que tu vas faire revivre l'espoir en ranimant mon petit dernier $Lip^{1-}$ ? Par analogie avec les fonctions $k$-lipschitziennes pour tout $k > 1$ qui ne sont pas 1-lipschitziennes, j'ai envie de dire que l'inclusion réciproque est là encore fausse,.. en même temps je ne suis pas sûr qu'une fonction $k$-lipschitzienne pour tout $k > 1$ qui n'est pas 1-lipschitzienne existe si $E$ n'est pas compact.


Bref ma question n'est pas si intéressante que ça je m'en rends compte. Merci de t'être penché dessus.

corentin0

J'ai une absence; est ce que $x^{\alpha}$ est $Lip^{\alpha}$?
Je pense aussi que l'inclusion du deuxième exemple est fausse.

egoroff

Ouais, mais est-ce qu'elle serait pas vraie par compacité ?


$x^{\alpha}$ est bien dans $Lip^{\alpha}$ oui, en fait si $f$ est positive et $f^{1/ \alpha} \in Lip^1$ alors $f \in Lip^{\alpha}$ (et vice-versa). On a même : $x^{\beta}$ est dans $Lip^{\alpha}$ si et seulement si $\beta \geq \alpha$.

egoroff

Encore une question pour toi (et pour les autres), dans le même style : qu'est-ce qu'on peut dire de $\displaystyle L^{\leftrightarrow}(\Omega) := \bigcap_{1 \leq p \leq +\infty} L^p(\Omega)$ dans le cas où on n'a pas d'inclusions entre les $L^p(\Omega)$, par exemple $\Omega=\R$ ?

egoroff

Tu préfères $\displaystyle L^{\leftrightarrow}(\Omega) := \bigcap_{1 \leq p \leq +\infty} L^p(\Omega)$ ou plutôt $\displaystyle L^{[1,+\infty]}(\Omega) := \bigcap_{1 \leq p \leq +\infty} L^p(\Omega)$ ? ou même $\displaystyle L^{\forall}(\Omega) := \bigcap_{1 \leq p \leq +\infty} L^p(\Omega)$ ?

corentin0

J'aimerai bien savoir comment on montre ça, parce que là je vois trop pas.
En fait, je pensais à une fonction affine par morceaux dont les coeff directeurs divergeraient en 0, mais pas très vite.
En gros sur $[\frac{1}{2^{n+1}},\frac{1}{2^n}]$ un coeff directeur de l'ordre de $n$. (vu que pour $x^{\alpha}$, la dérivée en $\frac{1}{2^n}$ est de l'ordre de $2^{n(1-\alpha)}$ on prend une une croissance vachement plus lente)
Peut être que je divague.

egoroff

Tu veux savoir comment montrer quoi exactement ? Ca m'embête de te dire ça alors que tu t'intéresse de près à mon problème mais je dois y aller ! Je suis censé rejoindre des gens pour dépenser tout mon argent en bière et je suis déjà en retard...


Je lirai en détail ta proposition de fonction affine à mon retour si j'en suis encore capable.


Sinon je pensais à récupérer mon exemple tordu de l'autre fois (le fil avec oump et bosio), où je mettais des "tentes" en forme de $x^{\alpha}$ à l'origine sur des intervalles de plus en plus rapprochés de l'origine. Si, tout en se rapprochant de l'origine, on diminue la valeur du $\alpha$ de la tente, les tentes sont de plus en plus "pointues" et on n'est dans aucun $Lip^{\alpha}$.. ah ben non je suis con je suis en train de construire un contre-exemple pour $Lip^{0+}$ !


Merci encore, à toute !

egoroff

Si c'est pour montrer le truc avec $\alpha$ et $\beta$ le plus simple est de mettre à la puissance $1 / \alpha$ pour se ramener à montrer que $x^{\beta/alpha}$ est ou n'est pas lipschitzienne... Mais peut-être que je délire.


Si je comprends bien ta fonction est $f(x) = \int_0^x h(t) \, dt$ avec $h=\sum_{n=1}^{+\infty} n \chi_{[1/2^{n+1},1/2^n]}$ (série qui a l'air de converger dans $L^1$) ?

corentin0

Je voulais juste savoir comment montrer qu'une fonction $f$ telle que $f^{\frac{1}{\alpha}}$ est lipschitz vérifie $f\in Lip^{\alpha}$.

Pour l'intersection des L^p, c'est juste une application d'interpolation: c'est égal à $L^1\cap L^{\infty}$. (Holder...)

egoroff

C'est une bonne question.. plus intéressante que la mienne en fait ! Ca m'avait l'air assez immédiat dans un sens, et vrai dans l'autre parce que $E$ est compact, mais en essayant de l'écrire bien je suis un peu dans l'impasse. Il est possible que j'aie complètement divagué... Je vais me plonger sérieusement dedans.


Merci pour l'intersection, effectivement c'est assez immédiat. Je me sens un peu bête.

corentin0

Je vais décrire mon exemple précisément: (rque: j'ai fini par me résoudre à vérifier par une bête étude de fonctions que $x^{\alpha}$ est bien $\alpha$ lispchitzienne)
Voila, on prend une fonction définie sur $[0,1]$ avec $f(1)=1$, qui est affine de pente $1$ sur $[1,\frac{1}{2}]$, puis affine de pente $2$ sur $[\frac{1}{2},\frac{1}{2^2}]$, affine de pente $3$ sur $[\frac{1}{2^2},\frac{1}{2^3}]$... etc.
Manifestement, c'est une fonction qui n'est pas lipschitz. Par contre, je pense qu'on peut vérifier qu'elle est dans tous les $Lip^{\alpha}$, parce que l'idée, c'est qu'on peut ne regarder que les zones "les pires" où la fonction est affine, et sur ces zones là, ça se passe bien.
En effet, si on prend $( \frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n+1}} )$, on a bien $|f(\frac{1}{2^n})-f(\frac{1}{2^{n+1}})|=\frac{n}{2^n}\leq C_{\alpha}2^{\alpha (n+1)}$. (avec $C_{\alpha}\longrightarrow \infty$, il me semble, vu qu'on n'est pas lipschitz)

egoroff

Joli...

Effectivement on a bien $n2^{\alpha-1}$ majorée pour $\alpha < 1$ et divergente pour $\alpha=1$.

Merci et chapeau !

Lechiheb1

Salut
Je cherche une preuve de ce théorème :
L'application $x : [0,T]\to U$ est de $p$-variation finie si et seulement si, il existe une fonction bornée non décroissante $\varphi : [0;T]\to \mathbb{R}$ et une application $y : \varphi([0,T])\to U$ höldérienne d’exposant $\gamma=1/p$ et de constante de Hölder $H_\gamma(y)\leq 1$ telles que : $x=y\circ \varphi$.

[La case LaTeX. AD]