Transformation de Fourier d'une mesure

igrec27
Modifié (29 Oct) dans Analyse
Bonjour,
J'aimerais savoir s'il est possible de donner un sens à la "transformation de Fourier de la mesure de comptage sur N" par exemple en la transformant en une mesure continue sur le segmant [0 1]
merci;

Réponses

  • On voit dans ce lien que la TF d'une mesure a un sens.
    http://www.numdam.org/item/PSMIR_1966-1967____A9_0.pdf
    Pour moi ce serati la TF de la mesure de comptage
  • Barjovrille
    Modifié (31 Oct)
    Bonjour, si on essaye de calquer la définition de ton document sur la mesure de comptage, il y a plusieurs point bloquant, par exemple le fait que la mesure doit être bornée. On peut bricoler un truc en définissant la mesure comme une "distribution" qui agit sur des fonctions $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ (l'espace des suites réelle mais avec quelques restrictions) par exemple, et on pourrait faire une TF qui ressemble à des séries de Fourier mais est-ce que c'est ce que tu cherches? Pourquoi tu veux faire cette construction?
  • Merci de m'aider à comprendre.
    Le point de départ c'est l'espace de Hilbert des suites des fonctions (complexes ou réelles) de carré sommables indéxées par des nombres entiers > 0.
    Cet espace possède (au moins) une base hilbertienne dénombrable.
    Et la mesure qui lui est associée est la mesure de comprage (de cardinalité)
    On donne à cet espace le nom de $l^2$.
    Il y a d'autre part un "autre" espace des fonctions complexes sur le cercle S1 de périmètre 1.
    C'est en fait le segment [0 1] avec les extémités idenfifiées et des fonctions prenant toutes la meme valeur 1
    en 0 et 1.
    On peut normer ces fonctions par le produit scalaire $\int f_n f^*_n$ =1 
    (je n'ai pas indiqué la mesure car elle fait partie de ma question).
    On a également un espace de Hilbert séparable (à base dénombrable).
    Ces deux bases ont la même cardinalité appelée la dimension de ces espaces de Hilbert.

    Deux espaces de Hilbert ayant une égalité des cardinaux des bases (fines ou dénombrables)
    sont isométriquemant isomorphes. On dit qu'elles sont équvalentes
    Et dans ce sens le deuxième espace fait partie de la même classe que $l^2$.
    qui devient donc l'espace unique $l^2$

    Ainsi donc les suits de nombres complexes et de fonctions de carré sommables sont sur le même plan.
    je me demandais s'il n'y avait pas une TF interchangeant le discret et le continu (y compris pour les mesures)

    Regardes le début de cer article:
    https://www2.math.upenn.edu/~deturck/m426/notes02.pdf
    On y évoque beaucout les TF dans la première page mais plus dans les autres pages 
    il me semble.
    je me demandais donc si implicietement il n'y avait pas une telle trasformation du coté des mesures
    Je peus si vous le désirez fournir des liens sur l'unicité de $l^2$



  • Bonsoir,
    here’s nothing special about period 1, but using this will make the Fourier series formulas look just like Fourier transform formulas later.

    Et ce fameux later se trouve ici. Avant, il s'agit de séries de Fourier.

    On y évoque beaucoup les TF dans la première page...
    Tu exagères un tout petit peu. Je t'invite à étudier ceci.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Merci.
    Je pensais que  le plus tard serait dans la page de la note 2.
    je n'avais pas pensé aux notes 3 4 etc

  • J'ai commencé à lire les diffénts chapitres dans l'ordre et je suis tombé sur celui ci:
    https://www2.math.upenn.edu/~deturck/m426/notes03.pdf
    Il traite de l'unique (à isomorphisme isométrique près) espace de Hilbert à base dénombrable.
    Et avec le théorème 3 il introduit la correspndance f <--> $\hat f$ que j'espérais trouver.
  • On m'a fourni ce lien:
    https://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum_(functional_analysis)
    et je vous avoue que je suis un peu perdu avec tous ces types de spectres.
    je pensais que les spectres pouvaient se décomposer en deux parties
    discrete et continue.
    Dans un passage vidéo Alain Connes à propos de l'espace de HILbert séparable $l^2$
    disait que les opérateurs continus ne commutent pas avec les opérateurs discrets.
    Comment le démontrer en voyant dans le lien à de quoi on parle exactement
    (injecitvité, surjectivité etc)?
  • Je me pose une autre question (plus simple?):
    Plusieurs espaces de Hilbert séparbles de meme cardinalité (celle de N) sont isométriquement
    isomorphes et on nomme $l^2$ leur classe d'équivalence.
    Commet montrer (si c'est le cas) que c'est également un espace de Hilbert sébable?

  • Ça n'a aucun sens. Il n'existe pas de Hilbert (séparable ou non) de cardinalité celle de $\mathbb N$. Ensuite tu demandes pourquoi un Hilbert séparable est un Hilbert séparable ?
  • @Poirot
    Désolé il manquait quelques mots dans ma question
    j'ai écrit
    Plusieurs espaces de Hilbert séparbles de meme cardinalité
    je voulais dire
    Plusieurs espaces de Hilbert séparbles de meme cardinalité de leurs bases 
    regarde cet article:
    https://planetmath.org/classificationofhilbertspaces
    Quand on dit qu'on a un espace de Hilbert unique à un isomorphisme isométrique prés
    doit on en rester là ou se dire qu'on a une classe d'équivalence d'espaces de Hilbert
    c'est a dire un ensemble pour lequel il reste a montrer qu'on peut en faire un espace de Hilbert
    avec une base de cardinalité N?
    j'espère avoit clarifié mon problème.
    bon dimence.


  • Pourquoi voudrais-tu mettre une structure d'espace de Hilbert sur la classe d'équivalence des Hilbert séparables (de dimension infinie) ? Ce n'est même pas un ensemble, il ne risque pas de posséder une topologie le rendant séparable, tu t'emmêles complètement les pinceaux.
  • Ce serait donc bien bêta si toi  même tu t'emmêlais les pinceaux en 
    éssayant de démontrer que cette classe d'équivalence n'est pas un ensemble.
    et bien sur pas de pirouette , pas de bottage en touche, juste une belle preuve.

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