Bourbaki a-t-il encore un intérêt en 2024 ?

Bonsoir.
Je ne me mouille pas trop en lançant cette discussion à presque 3h du matin… mais ma question est réelle et légitime.
En effet, il y a un peu moins d'un an sortait encore un tome du colossal travail du groupe Bourbaki (Théories spectrales Chapitres 3 à 5). Néanmoins, je me demande (et ce depuis mon année de sup), avons-nous un quelconque intérêt à nous lancer dans ces bouquins ? Au sens général j'entends : je comprends bien qu'un volume ou un chapitre par-ci par-là puissent être très utiles.
En revanche, qu'en est-il de l'œuvre prise dans son ensemble ?

Réponses

  • Le fondement de Bourbaki est la théorie des ensembles dans la logique du premier ordre. Pour prendre l'exemple donné par Georges Orwell dans son roman 1984 peut on dire qu'éternellement  2+2=4. La réponse est non car par exemple 2 hommes + 2 femmes cela fait deux couples qui peuvent avoir des enfants.
  • Foys
    Modifié (10 Jul)
    Le traité Bourbaki devrait figurer au patrimoine mondial de l'Unesco. C'est le seul livre(*) au monde où toutes les notions de maths jusqu'au niveau M2  hors logique(**) spécialisée reçoivent une définition précise. Le système formel dans lequel lesdites notions sont dévelopées est conservatif sur ZFC tout en étant plus expressif (ce qui veut dire que tout énoncé $e$ de théorie des ensemble admet une traduction (mécanique) $e'$ dans le langage de Bourbaki qui est telle que $e'$ est démontrable dans Bourbaki si et seulement si $e$ est démontrable dans ZFC(***); la remarque sur l'expressivité est le fait qu'il existe des énoncés qui sont exprimables dans le langage Bourbakiste mais qui ne sont la traduction d'aucun énoncé de théorie des ensembles traditionnelle).

    Est-ce une restriction? La recherche évolue rapidement et de nombreux travaux ne se conduisent plus dans un tel formalisme (en particulier dans tout ce qui est théorie des types, catégories); le coeur même du texte sera daté un jour probablement. Mais en maths un théorème est démontré pour toujours et d'autre part (voir le paragraphe précédent) chaque fois qu'un mathématicien vous dit que son travail vit dans ZFC c'est qu'il est exprimable et valide dans Bourbaki.

    Toujours est-il que ce livre peut être utilisé comme un gros dictionnaire de maths utilisable pour les niveaux indiqués ci-dessus.
    ________________________

    (*) Il existe des formalisations logicielles des maths réalisées avec des assistants de preuve comme COQ, Isabelle, HOL, Lean ou Metamath et de nombreuses bibliothèques y ont été développées.

    (**) Bourbaki ne traite de logique que ce qui est strictement nécessaire pour le reste de son livre et ne recourt pas à la logique du premier ordre mais (sans le nommer) à un système inventé par David Hilbert, Paul Bernays et Wilhelm Ackermann: le calcul epsilon. La logique est une discipline distincte et les lecteurs qui veulent s'y former ont intérêt à trouver par contre d'autres sources.

    (***) Cette affirmation est démontrée dans le livre théorie des ensembles de Jean-Louis Krivine aux pages 113 à 121, en utilisant des outils développés avant dans ledit livre comme le schéma de réflexion (p.53 à 59 du même livre).

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Foys a dit :
     le fait qu'il existe des énoncés qui sont exprimables dans le langage Bourbakiste mais qui ne sont la traduction d'aucun énoncé de théorie des ensembles traditionnelle.

    As-tu un exemple ? C'est quoi exactement ce langage bourbaki ? Est-ce un langage du premier ordre ?
    Vive la France
  • Je ne connais pas grand monde qui apprenne les maths dans Bourbaki, à part dans un livre ou deux à la rigueur. Par exemple celui de topologie est réputé relativement lisible.
  • Foys
    Modifié (10 Jul)
    @Congru on part de la signature $\{\in,=\}$.

    I) Les termes et formules sont définis par induction mutuelle:
    -Toute lettre est un terme; pour toute formule $P$ et toute lettre $x$, $\tau_x P$ est un terme.
    -Pour tous termes $a,b$, $a \in b$ et $a = b$ sont des formules.
    -Pour toutes formules $A,B$, $\neg A$ et $A \vee B$ sont des formules.

    II) Les définitions de variables libres et liées sont banales ($\tau$ étant un symbole lieur):
    Soit $y$ une lettre; $VL^T(y):= \{y\}$; $VL^T(\tau_x P) := VL^F (P) \backslash \{x\}$; $VL^F(a \in b) := VL^F(a = b):= VL^T(a) \cup VL^T (b) $ pour tous termes $a,b$; $VL^F(A \vee B ):= VL^F (A) \cup VL^F(B )$ et $VL^F(\neg A):= VL^F(A)$ pour toutes formules $A,B$. Une lettre $v$ est dite libre dans le terme $s$ (resp. la formule $E$) si $v\in VL^T(s)$ (resp. $v \in VL^F(E)$). La substitution sans capture se définit exactement comme en logique du premier ordre.

    III) On a les abréviations suivantes:
    1°) Pour toutes formules $A,B$, $A \Rightarrow B:= (\neg A \vee B )$; $A \wedge B:= \neg (A \Rightarrow \neg B )$; $A \Leftrightarrow B:= (A \Rightarrow B ) \wedge (B \Rightarrow A)$: (ça je pense que ça va).
    2°) $\exists x P:= P[x:= \tau_x P]$ et $\forall x P:= P[x:= \tau_x (\neg P)]$.

    L'interprétation intuitive de $\tau_x P$ est "un certain objet qui satisfait la propriété $x \mapsto P$ si c'est possible, sinon un objet arbitraire" (ceci est concrétisé par le système de preuve avec axiomes donnés ci-dessous en particulier iii-5).

    IV) Soit $\Gamma$ un ensemble de formules. Une preuve avec axiomes dans $\Gamma$ est une liste $(A_i)_{1 \leq i \leq n}$ de formules où pour tout $p \leq n$, on est dans au moins un des deux cas suivants;
    (i) il existe $q,r < p$ tels que $A_q$ est la formule $A_r \Rightarrow A_p$
    (ii) $A_p\in \Gamma$
    (iii) $A_p$ est de l'une des formes suivantes ($A,B,C$ étant des formules quelconques, $x$ une lettre quelconque et $s,t$ des termes quelconques):

    (iii-1) $(A \vee A) \Rightarrow A$
    (iii-2) $A \Rightarrow (B \vee A)$
    (iii-3) $(A \vee B ) \Rightarrow (B \vee A)$
    (iii-4) $(A \Rightarrow B ) \Rightarrow ((C \vee A) \Rightarrow (C \vee B ))$
    (iii-5) $A[x:= t] \Rightarrow A[x:= \tau_x A]$
    (iii-6) $s = t \Rightarrow (A[x:= s] \Leftrightarrow A [x:= t])$
    (iii-7) $(\forall x (A \Leftrightarrow B )) \Rightarrow \tau_x A = \tau_x B $.

    La conservativité de ce système sur la logique classique égalitaire du premier ordre lorsque $\Gamma$ est vide est conséquence de ce qu'on appelle "premier théorème epsilon étendu de Hilbert" (Hilbert notait $\varepsilon$ ce que Bourbaki a préféré noter $\tau$ afin de ne pas le confondre avec le symbole d'appartenance) ainsi que de la déskolémisation.

    La théorie des ensembles proprement dite est obtenue avec un ensemble $\Gamma$ approprié décrit dans le livre.

    Pour ce qui est de l'extension stricte du langage, comment exprimer au premier ordre quelque chose comme
    $\tau_x P \in \tau_x Q$ où $P:= \forall y, y \in x \Leftrightarrow \neg y \in y$ et $Q:= \exists z,  x \in z$ ?
    Le symbolisme introduit de grosses ambiguïtés.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Merci @Foys
    Vive la France
  • D'accord avec @JLT, personne n'apprendra les mathématiques dans Bourbaki. On peut  l'utiliser pour telle ou telle question, la topologie comme dit @JLT, mais aussi l'algèbre, l'algèbre commutative, les fonctions d'une variable réelle, et d'autres aussi.  Et ses exercices sont très riches.
    Cet ouvrage est aussi utile comme autorité en matière de terminologie et de notation.
    C'est vraiment un ouvrage sans pareil dans le monde. Bonne idée de @Foys de dire qu'il devrait figurer au patrimoine mondial de l'Unesco.
  • Merci à tous pour vos réponses qui m'amènent naturellement à la question suivante : « et pour ceux qui ont déjà appris les mathématiques ? ». Y a-t-il un quelconque intérêt ? Que ce soit dans l'idée de "révisions", dans une consolidation de connaissances, dans les exercices, dans l'exploration de quelques notions qui soient autrement passées sous silence, ou quoi que ce soit d'autre.
  • L'intérêt des Bourbaki m'a l'air d'être encyclopédique. Un érudit ne passe pas son temps à lire des encyclopédies, mais c'est important pour lui que de tels ouvrages existent.
  • Math Coss
    Modifié (10 Jul)
    Les textes constituent des références et parfois ils sont parmi les mieux écrits sur le marché, tels les chapitres 4 à 6 de Groupes et algèbres de Lie sur les groupes de Coxeter (et systèmes de racines et groupes de réflexions). Les exercices fourmillent d'exemples intéressants (même exemple).
  • Aujourd'hui on a tendance à oublier les apports de Bourbaki tellement ceux-ci sont rentrés dans nos pratiques courantes.

    Pour se rafraichir la mémoire, on pourrait aller lire les articles des mathématiciens professionnels du XIXème siècle et même du début du XXème siècle. On constaterait que les rédactions sont "peu rigoureuses" voire carrément fausses et que les implicites sont légions. 

    Bourbaki a imposé le style contemporain à base de cycles "définitions-propositions-preuves" en insistant sur l'importance d'expliciter toutes les notations et de rédiger un texte linéaire sans circularités. Tout mathématicien qui publie un article professionnel avec ce style de rédaction est consciemment ou inconsciemment dans une lignée bourbakiste.

    C'est évidemment sans compter sur leurs nombreux apports notationnels ou lexicaux (soient inventés par eux, soit popularisés par eux) comme l'utilisation systématique des quantificateurs, les mots injectif/surjectif, etc.

    Au niveau de leur importance dans l'histoire des mathématiques, je compare sans problème les éléments de Bourbaki avec les éléments d'Euclide.
  • Il m’est déjà arrivé, occasionnellement, avec un petit niveau en mathématiques, après avoir buté sur quelques notions et pesté sur des ouvrages explicatifs d’aller lire bien plus clair dans le Bourbaki. 

  • barkhausen se demande quel pourrait-être l'intérêt pour barkhausen de lire les Bourbaki.

    Au vu de la trentaine de contributions de barkhausen dans ce forum, la réponse semble être: aucun.

  • Cyrano a dit :
    Aujourd'hui on a tendance à oublier les apports de Bourbaki tellement ceux-ci sont rentrés dans nos pratiques courantes.

    Pour se rafraichir la mémoire, on pourrait aller lire les articles des mathématiciens professionnels du XIXème siècle et même du début du XXème siècle. On constaterait que les rédactions sont "peu rigoureuses" voire carrément fausses et que les implicites sont légions. 

    Bourbaki a imposé le style contemporain à base de cycles "définitions-propositions-preuves" en insistant sur l'importance d'expliciter toutes les notations et de rédiger un texte linéaire sans circularités. Tout mathématicien qui publie un article professionnel avec ce style de rédaction est consciemment ou inconsciemment dans une lignée bourbakiste.

    C'est évidemment sans compter sur leurs nombreux apports notationnels ou lexicaux (soient inventés par eux, soit popularisés par eux) comme l'utilisation systématique des quantificateurs, les mots injectif/surjectif, etc.

    Au niveau de leur importance dans l'histoire des mathématiques, je compare sans problème les éléments de Bourbaki avec les éléments d'Euclide.
    Intéressant. Tu as de la documentation sur ce sujet ?
  • raoul.S
    Modifié (10 Jul)
    J'ai les deux tomes de topologie et celui des espaces vectoriels topologiques. Je les consulte de temps en temps. Comme dit Poirot, Math Coss etc. ce ne sont pas des livres à acheter lorsqu'on débute, mais à consulter lorsqu'on a déjà une certaine connaissance du sujet. J'y ai trouvé des approfondissements qui sont absents d'autres livres plus "standards". 
  • barkhausen
    Modifié (10 Jul)
    pldx1 a dit :
    Au vu de la trentaine de contributions de barkhausen dans ce forum, la réponse semble être: aucun.
    Une affirmation aussi péremptoire fondée sur mes contributions toutes, ou presque, non-mathématiques — donc sur pas grand-chose finalement — m'interroge.
    Il faut dire que je ne suis pas certain de la manière dont je dois prendre cette affirmation.
  • JLapin
    Modifié (10 Jul)

    barkhausen a dit :
     Néanmoins, je me demande (et ce depuis mon année de sup), avons-nous un quelconque intérêt à nous lancer dans ces bouquins ?

    Et moi, je me demande, sans animosité aucune, de quelle manière on doit prendre cette question et qui est ce "nous" dont tu parles.
    Si tu voulais savoir quels sont les usages des Bourbaki par les mathématiciens ou les apprentis mathématiciens de ce forum, il y avait peut-être une question plus directe et moins snob à poser.
    Quand on fait des titres provocateurs, on s'expose à des réponses provocatrices...
  • En quoi est-ce un titre provocateur ? En quoi ai-je posé une question snob ?
  • Apprendre avec des Bourbaki c'est un peu utopiste et très abstrait.
    Personnellement, j'ai commencé à les étudier à partir du M2 et je trouve qu'ils n'ont pas leur égal dans la littérature du fait que le traité est assez complet, exhaustif et le plus général possible.
     A l'heure actuelle, je ne m'en passe plus, mais ils sont tellement interdépendants entre eux qu'il est assez complexe de vouloir se plonger dans un seul tome. Encore une fois, les tomes d'algèbres et algèbre commutatives sont assez fantastiques.

    Après, je suis un peu un fan boy de l'idée et du concept de Bourbaki, donc je ne suis pas le meilleur juge.
    Deux "Je vous salue Évariste" au réveil et trois "Domine Protegere Fac Galois" au coucher pour progresser en mathématiques.

  • hx1_210
    Modifié (11 Jul)
    Je trouve la question étrange.

    Comment se faire un avis sur un ouvrage sans l’étudier? et question subsidiaire quel niveau de connaissance en mathématiques faut-il atteindre pour pouvoir porter une critique éclairée sur les travaux du séminaire Bourbaki qui se perpetuent aujourd’hui encore.

    Pour ma part je n’ai pas étudié ces ouvrages, non parce qu’ils seraient dépassés ou inintéressants mais parce qu’ils ont la réputation d’être difficiles et que des Maîtres ont fait l’effort de les vulgariser dans des ouvrages plus à la portée d’un public étudiant et aussi administrativement plus proches des programmes des concours et examens.

    J’ai ainsi étudié des classiques dans lesquels l’influence bourbakiste est tangible: par exemple le ROD. Mais aussi le livre d’algèbre de Combes. Donc même sans puiser à la source on est forcément irrigué par cette école mathématique qui marque les mathématiques et leur enseignement pour toujours. Il est vrai que lorsque l’on est étudiant on ne prend pas le temps d’étudier à la source. C’est sûrement un tort. Si l’on compare avec la Philosophie par exemple, il y est indispensable de lire la Logique de Hegel ou le Discours de la méthode…question de culture et de Culture.

    Je souscris pleinement à l’analogie de Cyrano. On n’apprend pas nécessairement en premier la géométrie dans les Éléments (on pourrait ) cela ne fait pas de cet ouvrage référence un livre dépassé… ( d’ailleurs qu’est-ce qu’un livre dépassé ?).

    Un mérite de la discussion est de donner envie à des ignorants comme moi de découvrir ces ouvrages, merci donc à ceux qui en ont fait la revue ici.
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