Un exercice un peu démodé ?

Bonjour,
Trouver la courbe dont l'équation tangentielle est $uv + 3u + 4v = 0$, puis vérifier en faisant le calcul inverse.
A l'abordage !...
Deux officiers sortis de la même promotion de Saint-Cyr :
Lieutenants : amis ... Capitaines : camarades ... Commandants : collègues ... Colonels : rivaux... Généraux : ennemis mortels.

Réponses

  • Bonjour,
    que sont ici $u$ et $v$ ? En général, le membre de. gauche d'une équation tangerntielle est un polynôme homogène en $u,v,w$ ; faut-il comprendre $uv+3uw+4vw$ ?
  • On suppose ici que la tangente a pour équation $ux + vy + 1 = 0$.
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  • L'équation tangentielle étant de la forme $q=0$, où $q$ est une forme quadratique, la courbe est une conique. On en obtient l'équation ponctuelle en inversant la matrice de $q$, qui est $\begin{pmatrix}0&1&3\\1&0&4\\3&4&0\end{pmatrix}$. On obient donc l'équation $16X^2-24XY-8XT+9Y^2-6YT+T^2=0$.

    On peut aussi écrire l'équation de la tangente générique, sous la forme $u^2X+(4X-3Y+1)u+4=0$ ; le point caractéristique d'icelle annule le discriminant en $u$, c'est-à-dire $(4X-3Y+1)^2-16X=0$ (ô surprise, c'est la même :) )
  • J'ai procédé autrement, en éliminant $u, v$ entre les trois relations $ux + vy + 1 = 0, x/f'_u = y/f'_v, f(u, v) = uv + 3u + 4v = 0$.
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  • Oui ! bonne idée...

    Petite vérification du résultat : puisque, dans $q$, les termes carrés sont nuls, la courbe est tangente aux droites d'équation $X=0$, $Y=0$ et $T=0$. Le troisième contact (avec  la droite de l'infini) montre que $(C)$ est une parabole ; en outre, annuler $X$ dans l'équation montre le contact en $(0:1:3)$ avec $Oy$ et l'annulation de $Y$ montre le contact en $(1:0:4)$ avec $Ox$.

    Inverser la machine avec la matrice est sans intérêt puisque $(M^{-1})^{-1}=M$ mais, avec l'équation ponctuelle, on chercherait à quelle condition $uX+vY+1=0$ est l'équation d'une droite qui coupe $(C)$ en deux points confondus, ce qui se traduit par l'annulation d'un discriminant.
  • En fait, la recherche de l'équation ponctuelle (resp. tangentielle) à partir de l'équation tangentielle (resp. ponctuelle) obéit au même mécanisme :smile:
    on élimine $u, v$ ou $x, y$ entre un système de deux équations linéaires ($ux + vy + 1 = 0$, plus $x/f'_u = y/f'_v$ ou $u/F'_x = v/F'_y$) et une condition de compatibilité (équation ponctuelle $F(x, y) = 0$ ou équation tangentielle $f(u, v) = 0$).
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  • Exactement ! C'est pour cela que l'on parle de dualité. On a grosso modo la même avec les coordonnées barycentriques.
  • En décortiquant la parabole, je viens de (re)découvrir un moyen d'en trouver l'axe :smile:
    $(4x - 3y)^2 - ... = 0$ montre que la direction de l'axe est $y = 4x/3$ et que celle de la tangente au sommet est $y = -3x/4$ ;
    en écrivant $y' = -3/4$, on trouve $4(4x - 3y - 1)/3(4x - 3y + 1) = -3/4$ puis $100x - 75y - 7 = 0$.
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  • Ou bien puisque $3,4,5$ est un triplet piteux_goricien, et s'il existe une suite de ce type à l'exo, on peut aussi effectuer le changement de repère orthonormé défini par $5X=4x-3y,\,5Y=3x+4y$, de sorte que l'équation de $(C)$ sera quasiment celle d'une parabole réduite aux axes (moyennant une mise sous forme canonique des familles, ce qui n'a rien pour nous effrayer).
  • Une tite question pur rafraichir ma mémoire: 
    On veut que la droite d'équation : $ux+vy +w =0$ soit tangente à l'ellipse d'équation : $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} - 1 = 0$ 
    C'est quoi  l'équation tangentielle à cette  l'ellipse?

    Pour cette question, il frappa à la porte de Piteux_gore une fois, pas de réponse, encore une fois à la  porte de John Jhon, pas de réponse ( occupé par un match d'échecs), deux fois à la porte de @pappus , y a une réponse 
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • john_john
    Modifié (11 Jun)
    Bonjour, fiston !
    on pourrait donc  chercher à quelle condition $uX+vY+1=0$ est l'équation d'une droite qui coupe $(C)$ en deux points confondus, ce qui se traduit par l'annulation d'un discriminant.
    On peut aussi appliquer (pour le cas d'une conique) une méthode toute faite qui consiste à inverser la matrice de la forme quadratique de l'équation homogène de la conique : ici $M=\begin{pmatrix}1/a^2&0&0\\0&1/b^2&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$, de sorte que $M^{-1}$ est la matrice de la forme quadratique de l'équation tangentielle.

    Adoncques, cette équation est $a^2U^2+b^2V^2-W^2=0$.

    Application : par le point $(x:y:1)$ passent deux tangentes, réelles ou non, telles que $u$ et $v$ satisfassent à $a^2u^2+b^2v^2-(ux+vy)^2=0$. Elle sont orthogonales ssi $a^2-x^2=-(b^2-y^2)$ ssi $x^2+y^2=a^2+b^2$ : on (re)trouve ainsi l'équation du cercle orthoptique à l'ellipse.
  • On pourrait peut-être :smile:
    -- poser $u' = u/w, v' = v/w$
    -- appliquer l'élimination que j'ai citée en remplaçant $u, v$ par $u', v'$, etc.

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  • Ou aussi :smile:
    comme l'ET du cercle est $r^2(u^2+v^2) = w^2$, supposer que celle de l'ellipse est $a^2u^2 + b^2v^2 = w^2$.
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  • Tu as raison : l'ellipse est un cercle qui a subi quelques violences conjugales :'( .
  • Pour trouver le foyer d'après Plücker, je cherche une tangente de la forme $i(a+ib)x + (a+ib)y + 1 = 0$ :
    -- l'équation tangentielle montre que cette tangente est $i(-3 + 4i)x + (-3 + 4i)y + 1 = 0$
    -- l'intersection de cette tangente imaginaire et de l'axe $y = 4x/3 - 7/75$ donne $F = (4/25, 3/25)$.
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  • gebrane
    Modifié (11 Jun)
    Papa,

     Je me perds entre toi Papa et Pappus. 
    pappus a dit :
    Voilà enfin la méthode suggérée par jpdx, celle de l'équation tangentielle.
    La droite d'équation : $ux+vy +w =0$ est tangente à l'ellipse d'équation : $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} - 1 = 0$ ssi:
    $a^2u^2+ b^2 v^2 - w^2 =0$.
    C'est l'équation tangentielle de l'ellipse.


    Peux-tu m'expliquer ce que l'on entend par équation tangentielle d'une courbe ?
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  • C'est, comme qui dirait, la relation vérifiée par les coefficients des droites qui sont tangentes à la courbe.
    Par exemple, toutes les tangentes $ux + vy + 1 = 0$ au cercle $(O, r)$ ont des coefficients vérifiant $r^2(u^2+v^2) = 1$ (distance de $O$ à la droite = $r$).
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  • Voui : l'équation tangentielle (ET) d'une courbe est la condition, portant sur le triplet non nul $(u,v,w)$ pour que la droite d'équation $uX+vY+w=0$ soit tangente à la courbe.

    Par exemple, une droite est tangente au cercle de centre $(a,b)$ et de rayon $R$ ssi le carré de la distance du centre du cercle à la droite est égale au carré du rayon ; cela équivaut à $(ua+bv+w)^2=R^2(u^2+v^2)$.

    Comme le triplet $(u,v,w)$ n'est défini qu'à un scalaire multiplicatif près, il était prévisible que l'équation soit homogène.
  • Je suis rouillé 
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  • Piteux_gore
    Modifié (11 Jun)
    Pour trouver la tangente au sommet, je cherche une tangente de la forme $3vx/4 + vy + 1 = 0$ :
    l'ET donne $v = -25/3$, puis $u = -25/4$, puis enfin $75x + 100y - 12 = 0$ ou $y = -3x/4 + 3/25$.
    L'ET m'évite ainsi de former l'équation aux pentes et tout le toutim...
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  • Piteux_gore : l'origine appartient à la directrice puisque deux tangentes orthogonales s'y rencontrent ; le foyer est le pôle de cette droite que nous connaissons (par un point et sa direction, orthogonale à celle de l'axe) et le sommet est au milieu de la projetante du foyer sur la directrice.

    Fiston : rouillé ? En es-tu bien sûr ? Ce ne sont plus des techniques que tu as pu apprendre lors de tes études -- à moins que je ne me trompe sur ton âge et que tu n'aies nonante ans :) .
  • Je faisais l'école buissonnière dès mon jeune âge dans les cours de géométrie
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  • Je me demandais justement comment trouver la directrice à partir de l'ET... Le coup des axes touchant la parabole, je l'avais déjà vu ailleurs mais ici cela m'a échappé.
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  • Bonjour,
    une construction euclidienne de $(C)$ est possible : on donne les deux points de sinople : l'origine d'un repère orthonormé, et un point figurant la longueur unité ; on construit l'axe du même émail. Tout le reste est construction à la règle et au compas (de gueules : la parabole, foyer et directrice d'icelle, les deux points de contact avec les axes.

    Allô, ici Abélard ; noooon, ne coupez pas.
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