Un exercice un peu démodé ?

Piteux_gore

Bonjour,
Trouver la courbe dont l'équation tangentielle est $uv + 3u + 4v = 0$, puis vérifier en faisant le calcul inverse.
A l'abordage !...

john_john

Bonjour,
que sont ici $u$ et $v$ ? En général, le membre de. gauche d'une équation tangerntielle est un polynôme homogène en $u,v,w$ ; faut-il comprendre $uv+3uw+4vw$ ?

Piteux_gore

On suppose ici que la tangente a pour équation $ux + vy + 1 = 0$.

john_john

L'équation tangentielle étant de la forme $q=0$, où $q$ est une forme quadratique, la courbe est une conique. On en obtient l'équation ponctuelle en inversant la matrice de $q$, qui est $\begin{pmatrix}0&1&3\\1&0&4\\3&4&0\end{pmatrix}$. On obient donc l'équation $16X^2-24XY-8XT+9Y^2-6YT+T^2=0$.

On peut aussi écrire l'équation de la tangente générique, sous la forme $u^2X+(4X-3Y+1)u+4=0$ ; le point caractéristique d'icelle annule le discriminant en $u$, c'est-à-dire $(4X-3Y+1)^2-16X=0$ (ô surprise, c'est la même )

Piteux_gore

J'ai procédé autrement, en éliminant $u, v$ entre les trois relations $ux + vy + 1 = 0, x/f'_u = y/f'_v, f(u, v) = uv + 3u + 4v = 0$.

john_john

Oui ! bonne idée...

Petite vérification du résultat : puisque, dans $q$, les termes carrés sont nuls, la courbe est tangente aux droites d'équation $X=0$, $Y=0$ et $T=0$. Le troisième contact (avec  la droite de l'infini) montre que $(C)$ est une parabole ; en outre, annuler $X$ dans l'équation montre le contact en $(0:1:3)$ avec $Oy$ et l'annulation de $Y$ montre le contact en $(1:0:4)$ avec $Ox$.

Inverser la machine avec la matrice est sans intérêt puisque $(M^{-1})^{-1}=M$ mais, avec l'équation ponctuelle, on chercherait à quelle condition $uX+vY+1=0$ est l'équation d'une droite qui coupe $(C)$ en deux points confondus, ce qui se traduit par l'annulation d'un discriminant.

Piteux_gore

En fait, la recherche de l'équation ponctuelle (resp. tangentielle) à partir de l'équation tangentielle (resp. ponctuelle) obéit au même mécanisme
on élimine $u, v$ ou $x, y$ entre un système de deux équations linéaires ($ux + vy + 1 = 0$, plus $x/f'_u = y/f'_v$ ou $u/F'_x = v/F'_y$) et une condition de compatibilité (équation ponctuelle $F(x, y) = 0$ ou équation tangentielle $f(u, v) = 0$).

john_john

Exactement ! C'est pour cela que l'on parle de dualité. On a grosso modo la même avec les coordonnées barycentriques.

Piteux_gore

En décortiquant la parabole, je viens de (re)découvrir un moyen d'en trouver l'axe

$(4x - 3y)^2 - ... = 0$ montre que la direction de l'axe est $y = 4x/3$ et que celle de la tangente au sommet est $y = -3x/4$ ;

en écrivant $y' = -3/4$, on trouve $4(4x - 3y - 1)/3(4x - 3y + 1) = -3/4$ puis $100x - 75y - 7 = 0$.

john_john

Ou bien puisque $3,4,5$ est un triplet piteux_goricien, et s'il existe une suite de ce type à l'exo, on peut aussi effectuer le changement de repère orthonormé défini par $5X=4x-3y,\,5Y=3x+4y$, de sorte que l'équation de $(C)$ sera quasiment celle d'une parabole réduite aux axes (moyennant une mise sous forme canonique des familles, ce qui n'a rien pour nous effrayer).

gebrane

Une tite question pur rafraichir ma mémoire: 
On veut que la droite d'équation : $ux+vy +w =0$ soit tangente à l'ellipse d'équation : $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} - 1 = 0$ 
C'est quoi  l'équation tangentielle à cette  l'ellipse?

Pour cette question, il frappa à la porte de Piteux_gore une fois, pas de réponse, encore une fois à la  porte de John Jhon, pas de réponse ( occupé par un match d'échecs), deux fois à la porte de @pappus , y a une réponse 

john_john

Bonjour, fiston !
on pourrait donc  chercher à quelle condition $uX+vY+1=0$ est l'équation d'une droite qui coupe $(C)$ en deux points confondus, ce qui se traduit par l'annulation d'un discriminant.
On peut aussi appliquer (pour le cas d'une conique) une méthode toute faite qui consiste à inverser la matrice de la forme quadratique de l'équation homogène de la conique : ici $M=\begin{pmatrix}1/a^2&0&0\\0&1/b^2&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$, de sorte que $M^{-1}$ est la matrice de la forme quadratique de l'équation tangentielle.

Adoncques, cette équation est $a^2U^2+b^2V^2-W^2=0$.

Application : par le point $(x:y:1)$ passent deux tangentes, réelles ou non, telles que $u$ et $v$ satisfassent à $a^2u^2+b^2v^2-(ux+vy)^2=0$. Elle sont orthogonales ssi $a^2-x^2=-(b^2-y^2)$ ssi $x^2+y^2=a^2+b^2$ : on (re)trouve ainsi l'équation du cercle orthoptique à l'ellipse.

Piteux_gore

On pourrait peut-être
-- poser $u' = u/w, v' = v/w$
-- appliquer l'élimination que j'ai citée en remplaçant $u, v$ par $u', v'$, etc.

Piteux_gore

Ou aussi
comme l'ET du cercle est $r^2(u^2+v^2) = w^2$, supposer que celle de l'ellipse est $a^2u^2 + b^2v^2 = w^2$.

john_john

Tu as raison : l'ellipse est un cercle qui a subi quelques violences conjugales .

Piteux_gore

Pour trouver le foyer d'après Plücker, je cherche une tangente de la forme $i(a+ib)x + (a+ib)y + 1 = 0$ :
-- l'équation tangentielle montre que cette tangente est $i(-3 + 4i)x + (-3 + 4i)y + 1 = 0$
-- l'intersection de cette tangente imaginaire et de l'axe $y = 4x/3 - 7/75$ donne $F = (4/25, 3/25)$.

gebrane

Papa,

 Je me perds entre toi Papa et Pappus. 

pappus a dit :

Voilà enfin la méthode suggérée par jpdx, celle de l'équation tangentielle.
La droite d'équation : $ux+vy +w =0$ est tangente à l'ellipse d'équation : $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} - 1 = 0$ ssi:
$a^2u^2+ b^2 v^2 - w^2 =0$.
C'est l'équation tangentielle de l'ellipse.

[https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/595941/#Comment_595941](https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/595941)

Peux-tu m'expliquer ce que l'on entend par équation tangentielle d'une courbe ?

Piteux_gore

C'est, comme qui dirait, la relation vérifiée par les coefficients des droites qui sont tangentes à la courbe.
Par exemple, toutes les tangentes $ux + vy + 1 = 0$ au cercle $(O, r)$ ont des coefficients vérifiant $r^2(u^2+v^2) = 1$ (distance de $O$ à la droite = $r$).

john_john

Voui : l'équation tangentielle (ET) d'une courbe est la condition, portant sur le triplet non nul $(u,v,w)$ pour que la droite d'équation $uX+vY+w=0$ soit tangente à la courbe.

Par exemple, une droite est tangente au cercle de centre $(a,b)$ et de rayon $R$ ssi le carré de la distance du centre du cercle à la droite est égale au carré du rayon ; cela équivaut à $(ua+bv+w)^2=R^2(u^2+v^2)$.

Comme le triplet $(u,v,w)$ n'est défini qu'à un scalaire multiplicatif près, il était prévisible que l'équation soit homogène.

gebrane

Je suis rouillé 

Piteux_gore

Pour trouver la tangente au sommet, je cherche une tangente de la forme $3vx/4 + vy + 1 = 0$ :

l'ET donne $v = -25/3$, puis $u = -25/4$, puis enfin $75x + 100y - 12 = 0$ ou $y = -3x/4 + 3/25$.
L'ET m'évite ainsi de former l'équation aux pentes et tout le toutim...

john_john

Piteux_gore : l'origine appartient à la directrice puisque deux tangentes orthogonales s'y rencontrent ; le foyer est le pôle de cette droite que nous connaissons (par un point et sa direction, orthogonale à celle de l'axe) et le sommet est au milieu de la projetante du foyer sur la directrice.

Fiston : rouillé ? En es-tu bien sûr ? Ce ne sont plus des techniques que tu as pu apprendre lors de tes études -- à moins que je ne me trompe sur ton âge et que tu n'aies nonante ans .

gebrane

Je faisais l'école buissonnière dès mon jeune âge dans les cours de géométrie

Piteux_gore

Je me demandais justement comment trouver la directrice à partir de l'ET... Le coup des axes touchant la parabole, je l'avais déjà vu ailleurs mais ici cela m'a échappé.

john_john

Bonjour,
une construction euclidienne de $(C)$ est possible : on donne les deux points de sinople : l'origine d'un repère orthonormé, et un point figurant la longueur unité ; on construit l'axe du même émail. Tout le reste est construction à la règle et au compas (de gueules : la parabole, foyer et directrice d'icelle, les deux points de contact avec les axes.

Allô, ici Abélard ; noooon, ne coupez pas.