Corps de rupture vs corps de décomposition

plsryef

Bonjour, ma question est la suivante: y-a-il un critère qui assure que le corps de rupture et le corps de décomposition sont égaux ? (je sais qu' a priori qu' ils ne sont pas égaux), la question pourrait se réécrire, quand est-ce que le corps de rupture et le corps de décomposition sont égaux ?

Poirot

Je fixe des notations. $P$ est un polynôme irréductible sur le corps $k$, $K$ est un corps de rupture de $P$ sur $K$. Il n'y a pas vraiment de critère mais voilà des conditions qui impliquent que $K$ est un corps de décomposition de $P$ :

- $\deg P = 1$ ou $\deg P = 2$

- $K/k$ est normale (condition nécessaire et suffisante), voire galoisienne

- $K$ est contenue dans une extension finie galoisienne $L$ de $k$ et $\deg P$ est le plus petit facteur premier de $[L:k]$ (conditions qui impliquent celle ci-dessus)

plsryef

Merci pour ces exemples.

GaBuZoMeu

Bonjour,

On peut ajouter : en notant $x$ l'image de $X$ dans $k[X]/P$, $P/(X-x)$ est scindé sur $k[X]/P$.

Sylvain

Bonjour,

Je suis un béotien mais je me demande si la question du fil peut être conceptuellement mise en relation avec ce résultat : https://www.quantamagazine.org/in-highly-connected-networks-theres-always-a-loop-20240607/ en voyant un corps de rupture d'un polynôme comme un voisinage du corps de base "assez grand" pour coïncider avec son corps de décomposition, et faire un lien entre existence d'un chemin hamiltonien et transitivité du groupe de permutation des racines du polynôme.