Disjonction de cas arctangente

OShine

Bonjour,

C'est l'exercice 6.14.
Je ne comprends pas pourquoi on parle de disjonction de cas alors qu'il y a des cas qui se recoupent.
Je vais essayer de démontrer le dernier cas $xy>1$.

OShine

Ce que j'ai essayé. J'utilise le fait que $\tan (a - \pi)=- \tan(a)$ et que les fonctions $\tan$ et $\arctan$ sont impaires.
Supposons $xy>1$.
Supposons $x>0$ et $y>0$.
On a $1-xy<0$. Donc $\dfrac{x+y}{1-xy} <0$.
Posons : $A= \tan  ( \arctan (x)+ \arctan(y)- \pi  )$.
Alors : $A=- \tan ( \arctan(x)+ \arctan(y)$.
Donc: $A= - \dfrac{x+y}{1-xy}$. 
Mais $\arctan(A)=-( \arctan(x)+\arctan(y) - \pi )=- \arctan( \dfrac{x+y}{1-xy} )$
D'où : $\arctan(x)+ \arctan(y) - \pi = \arctan( \dfrac{x+y}{1-xy} )$
Enfin : $\boxed{\arctan(x)+ \arctan(y) = \pi + \arctan( \dfrac{x+y}{1-xy} )}$

PS : j'ai un problème, dans mon raisonnement je n'utilise pas les conditions et le fait que $\dfrac{x+y}{1-xy} <0$.

AlainLyon

Si x,y>0 et xy>1 es tu sûr que Arctan(x) et Arctan(y) soient définies "en même temps" ou pour faire plus simple : quel est le domaine de définition de la fonction Arctan?

OShine

Le domaine de définition de l'arctangente est $\R$.

lourrran

Dans une démonstration, évite le mot MAIS (tu l'emploies souvent, et toujours, c'est une erreur), et remplace le par OR.
MAIS, ça s'emploie quand il y a un empêchement.
Je voudrais sortir, mais il pleut donc je ne sors pas.
Je voudrais sortir, or il pleut, donc je sors avec mon parapluie.

En dehors de cette remarque, ta démonstration est totalement bancale, illisible, et fausse.

Réfléchis.
$Arctan(u)$, c'est TOUJOURS un nombre entre $-\frac{\pi}{2}$ et $\frac{\pi}{2}$ C'est (une partie de) la définition de Arctan...  Revenir à la définition, aux fondamentaux, encore et toujours.

Si $arctan(x)$ vaut un truc proche de $-\frac{\pi}{2}$ , et idem $arctan(y)$ proche de $-\frac{\pi}{2}$ 
$arctan(x) + arctan(y)$, ce sera proche de $-\pi$ On a parfaitement le droit de choisir des x et y comme ça, négatifs, et grands en valeur absolue.
Et toi, tu dis que ce truc proche de $-\pi$ , il vaut $\pi + arctan(z)$  
Comment un truc qui est proche de $-\pi$ peut être la somme de $\pi$ et d'un truc entre $-\frac{\pi}{2}$ et $\frac{\pi}{2}$ ?

gai requin

$f:(x,y)\mapsto\arctan x+\arctan y-\arctan\dfrac{x+y}{1-xy}$ est de différentielle nulle donc $f$ est constante sur chacune des trois composantes connexes de $\{xy\neq 1\}$.
1) Sur $\{xy<1\}$, $f(x,y)=f(1/\sqrt 3,1/\sqrt 3)=0$.
2) Sur $\{xy>1,x>0,y>0\}$, $f(x,y)=f(\sqrt 3,\sqrt 3)=\pi$.
3) Sur $\{xy>1,x<0,y<0\}$, $f(x,y)=f(-\sqrt 3,-\sqrt 3)=-\pi$.

OShine

@lourrran
D'accord.
Je ne vois pas comment faire.

@gai requin
Je n'ai pas les connaissances pour comprendre ta solution. Je n'ai pas encore étudié les différentielles et je ne sais pas ce qu'est une composante connexe.
Je cherche une solution élémentaire.

JLapin

Fixe une variable, dérive par rapport à l'autre.

OShine

Merci, très intéressant. Mais j'ai un problème je ne trouve pas le bon résultat.
Je fixe $y$ et je pose $f_y(x)=\arctan(x) + \arctan(y)- \arctan \left( \dfrac{x+y}{1-xy} \right)$ sur $]0,+\infty[$.
Montrons que $f_y = \pi$.
Je trouve : $f_y '(x)=\dfrac{1}{1+x^2}- \dfrac{1+y^2}{(1-xy)^2+(x+y)^2} =0$ en mettant au même dénominteur.
Donc $f_y$ est constante sur $]0,+\infty[$.
Si je fais tendre $x$ vers $0$, j'obtiens : $f_y(0)=\arctan(y)-\arctan(y)=0$.
Il y a un problème quelque part 

JLapin

Ta fonction n’est pas définie sur l’intervalle que tu as choisi.

lourrran

Tu dis que tu ne trouves pas le bon résultat.
Quel est le résultat que tu aimerais trouver ?

Et par ailleurs, quels sont les résultats supposés connus. Tu écris ton cours, ce que tu connais sur les fonctions $\tan$ et $\arctan$, pour que ce soit directement disponible, sous tes yeux. Et après, il n'y a plus qu'à assembler les pièces du légo dans le bon ordre.
Tu peux même écrire chaque propriété connue sur un post-it. Et ensuite, il restera à aligner les post-its les uns en dessous des autres, dans le bon ordre, et conclure.

Il y a un autre truc que normalement tu expliques à tes élèves. (les plus grands, ceux qui font du calcul littéral, tu n'en as probablement pas). Quand ils doivent développer un truc comme $(x+1)(x+2)(x-3)+(x+4)(x-2)$ par exemple, ils font les calculs, ils développent, ils simplifient. Et à la fin, ils font des vérifications. En remplaçant $x$ par des valeurs particulières. 
En remplaçant $x$ par $0$, ou par $1$, combien ça donne avec la formule de l'énoncé, et combien ça donne avec la formule trouvée. Si ça ne coïncide pas, c'est qu'il y a une erreur, et on refait l'exercice. 
J'espère que tu expliques ça à tes élèves.

Toi, tu as le droit de faire pareil. Tu as même l'obligation de faire pareil.
Tu prend les formules de l'énoncé, et tu remplaces $x$ et $y$ par des valeurs qui 'marchent' bien'. Par exemple $(1,-1)$, ou $(-\sqrt{3},-\sqrt{3})$ ou $(\sqrt{3},\sqrt{3})$
 

OShine

@JLapin
Merci j'ai réussi.

@lourrran
J'ai réussi à m'en sortir, c'est un très bon exercice. 

Elle est définie sur $] \dfrac{1}{y},+\infty[$ car $xy >1 \iff x> \dfrac{1}{y}$.

Ainsi : $\lim\limits_{x \rightarrow \frac{1}{y}}  f_y(x)= \arctan( \frac{1}{y})+ \arctan(y)- \lim_{- \infty} \arctan =\arctan( \frac{1}{y})+ \arctan(y)+ \dfrac{\pi}{2}$.

Montrons que $\forall y >0 \  \arctan( \frac{1}{y})+ \arctan(y)= \dfrac{\pi}{2}$.
On a $0 < \arctan(y) < \dfrac{\pi}{2}$ donc $- \dfrac{\pi}{2} < - \arctan(y) < 0$ et $0< \dfrac{\pi}{2} - \arctan(y) < \dfrac{\pi}{2}$.
On a : $\tan(  \dfrac{\pi}{2} - \arctan(y)) = \dfrac{1}{ y}$.
Donc $\arctan( \tan(  \dfrac{\pi}{2} - \arctan(y)) ) = \dfrac{\pi}{2} - \arctan(y)= \arctan( \dfrac{1}{y})$.

On a bien montré : $f_y= \pi$ et donc le résultat annoncé.

Si maintenant $y<0$, $x<0$ et $xy>1$, alors : $x< \frac{1}{y}$.
On a : $\forall x \in ]-\infty, \frac{1}{y}[ \ f_y '(x)=0$.
On a maintenant : 
$\lim\limits_{x \rightarrow \frac{1}{y}}  f_y(x)= \arctan( \frac{1}{y})+ \arctan(y)- \lim_{+ \infty} \arctan =\arctan( \frac{1}{y})+ \arctan(y)- \dfrac{\pi}{2}$.

Or : $\forall y <0 \  \arctan( \frac{1}{y})+ \arctan(y)=- \dfrac{\pi}{2}$ par imparité de la fonction arctangente. 
On en déduit $f_y = -\pi$ et donc le résultat annoncé.

Concernant les méthodes élémentaires, l'étude de fonction est la seule disponible ici ? 
On ne peut pas utiliser une technique similaire à la preuve de $\forall y >0 \  \arctan( \frac{1}{y})+ \arctan(y)= \dfrac{\pi}{2}$ ? 

lourrran

Notons $A= \arctan(x)+\arctan(y)$ et $B=\arctan (\frac{x+y}{1-xy})$

$B$ n'est pas définie si $1-xy=0$, c'est à dire $xy=1$. Considérons tous les autres cas.

Calculons $\tan(A)$ et $\tan(B)$ .
De manière immédiate $\tan(B)= \frac{x+y}{1-xy}$
Et en appliquant la formule générale $\tan(u+v)=\frac{\tan(u)+\tan(v)}{1-\tan(u)\tan(v)}$, on constate que $\tan(A)= \frac{x+y}{1-xy}$
On a donc $\tan(A)=\tan(B)$
 
On sait que $\tan(u)=\tan(v) \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z}, u-v= k \pi$
Et donc $A-B$ est un multiple de $\pi$

On sait que la fonction $\arctan$ est à valeurs dans $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$
Donc $A=\arctan(x)+\arctan(y)$  donne un nombre toujours entre $-\pi$ et $\pi$ exclus, $A-B$ est un multiple de $\pi$, et $B$ est un nombre entre $\frac{\pi}{2}$ et $\frac{\pi}{2}$ exclus.

Conclusion :

• Si $A < -\frac{\pi}{2}$, alors $B=A+\pi$, il faut ajouter $\pi$ pour avoir un nombre $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$
• Si $A > \frac{\pi}{2}$, alors $B=A-\pi$, il faut retrancher $\pi$ pour avoir un nombre $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$
  
• Si $A =\frac{\pi}{2}$ ou $A =-\frac{\pi}{2}$, on est dans le cas $xy=1$, $B$ n'est pas définie.
• Sinon, $B=A$

Quand j'écris 'on sait que', ou quand je parle de formule générale, j'utilise des résultats que je considère comme appris en cours, et au programme.
Quand je fais un rappel de cours, je rappelle les formules, avec des lettres 'anonymes' (ici $u$ et $v$) ; je ne reprends pas les lettres de l'exercice pour éviter toute confusion. 
Et au tout début, on devine de calculer $tan(B)$, parce que la fraction $\frac{x+y}{1-xy}$ nous rappelle une formule bien connue. Si on n'a pas ce déclic : tiens $\frac{x+y}{1-xy}$, ça ressemble à $\tan(u+v)$, on risque de tourner en rond un certain temps.
Et donc, il faut connaître sur le bout des doigts ses fondamentaux.

  

OShine

@lourrran
Pour les formules, je les ai bien sûr révisées avant de traiter les exercices. 
Intéressant le début. Pour la conclusion, je ne suis pas convaincu.

Pour la conclusion, je ne comprends pas. Je ne vois pas pourquoi si $A < - \dfrac{\pi}{2}$ alors $B=A+\pi$.
Si $- \pi < A < \dfrac{- \pi}{2}$ alors $- \dfrac{\pi}{2} < A+ \dfrac{\pi}{2} < 0$ 
On peut aussi avoir $B=A+ \dfrac{\pi}{2}$.

lourrran

Je te rappelle : on cherche des couples $(A,B)$, tels que $B$ soit entre $\frac{-\pi}{2}$ et $\frac{\pi}{2}$ (ça, ok, tu l'as pris en compte), et en plus, tels que $B-A$ soit un multiple de $\pi$

Comme d'habitude, tu lis le corrigé, et tu ne captes pas ; c'est normal, c'est très difficile de 'capter' un corrigé : soit on sait trouver la solution soi-même, et on n'a pas besoin du corrigé, soit on ne sait pas trouver la solution soi-même, et forcément, on va avoir du mal à la comprendre.

En fait, l'énoncé de l'exercice est 'flou'. Que pensez-vous de la relation ... ? Qu'est-ce que ça veut dire ? Si on répond que cette relation est vraie pour certains couples $(x,y)$, mais pas pour tous, est-ce que ça suffit ? On a plus ou moins reformulé l'exercice ainsi : Quelles sont les valeurs possibles pour $\arctan(x)+\arctan(y)-\arctan(\frac{x+y}{1-xy})$
Et on trouve les 3 valeurs possibles, déjà données par gai requin $0$,$\pi$ et $-\pi$

OShine

@lourrran
Ok merci j'avais oublié une hypothèse.
Ta solution me semble plus simple que le corrigé.

lourrran

Ma solution est peut-être plus simple, mais c'est parce qu'elle est moins complète.
Moi je dis : selon les cas, l'écart entre le terme de gauche et celui de droite (A et B ) est soit $-\pi$, soit 0, soit $\pi$ , et je m'arrête là. Le corrigé va un peu plus loin, il dit (et il démontre) pour quelles valeurs de $(x,y)$ l'égalité proposée est vraie. Et il dit que pour les autres cas, l'écart est $\pi$ dans certains cas, $-\pi$ dans les autres, et là par contre, sans justification.
C'est un peu dommage, mais c'est une porte ouverte pour le type qui lit le corrigé.
Le corrigé dit à la fin : on peut prouver que (blablabla) ; l'étudiant intéressé va chercher à prouver que (blablabla).

Dans le corrigé, il y a une phrase très forte :

Cet encadrement et l'égalité (*) montrent que (pour ces valeurs de x et y) l'égalité est vraie.

Quand on lit le corrigé,
- soit on a soi-même su faire l'exercice, et on capte ce que ça veut dire,
- soit on lit cette phrase, et ça rentre par une oreille et ça sort par l'autre, et on passe à l'exercice suivant, et on n'a strictement pas progressé.
- soit on s'arrête sur cette phrase 15 minutes ou 1 heure s'il le faut, jusqu'à comprendre ce qu'ils nous racontent. 

Si tu devais réécrire cette phrase, quels sont les 2 ou 3 mots mathématiques qu'on pourrait rajouter ?

OShine

Je rajouterais que si $|x | <1$, alors $\dfrac{-\pi}{4} < \arctan(x) < \dfrac{\pi}{4}$, la fion arctan étant strictement croissante sur $\R$.

lourrran

Je répète : soit on s'arrête jusqu'à 1heure s'il le faut, jusqu'à comprendre ce qu'ils nous racontent ... 
Tu as répondu instantanément ; tu considères que réfléchir 1heure, ce n'est pas ton truc. Tu te positionnes donc VOLONTAIREMENT dans la 2ème catégorie : 
- soit on lit cette phrase, et ça rentre par une oreille et ça sort par l'autre, et on passe à l'exercice suivant, et on n'a strictement pas progressé.

OShine

Je ne comprends pas ta question.
Ce premier résultat énoncé par le corrigé est trivial. Je n'ai eu aucune difficulté à le comprendre.

OShine

Si $x,y \in ]-1,1[$, on a $\arctan(x)+ \arctan(y) \in ]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[$ et on peut donc appliquer la tangente.

lourrran

Indice : le mot injection (ou éventuellement bijection) devrait apparaître dans ta réponse.

OShine

$\forall u \in ]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[$, on a $\arctan ( \tan u)=u$.
La fonction $\tan$ établit une bijection de $]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[$ sur $\R$.

lourrran

Comme je disais, le mot Injection aurait été "sur-mesure", et le mot "bijection" est moins bien adapté ici.
Pas grave, on n'aura pas mieux