Un calcul d'espérance...
Bonsoir
L'entreprise Jane Street a distribué des T-shirts pas banals (aux ?), dont celui-ci, qui contient une question qui ne me semble pas tout à fait triviale... C'est peut-être un classique, j'ai cherché mais rien trouvé...
La question consiste à la calculer la limite quand $n\to \infty$ de l'espérance du nombre de facteurs non carrés parfaits de pgcd($X_n$,$Y_n$) où $X_n$ et $Y_n$ sont indépendantes et uniformes sur $\{1,\ldots,n\}$. Je ne vois pas bien par où prendre le sujet. Dans ce cas, je regarde numériquement ce que ça donne (c'est d'ailleurs ce qui est représenté au verso du T-shirt). Je vous joins les graphiques jusqu'à n=200 (les couleurs sont automatiques, et le choix pas très heureux, j'en conviens).
La suite semble converger vers qq chose comme 0.53.
Qqn aurait des idées géniales sur la méthode pour résoudre la question ?
L'entreprise Jane Street a distribué des T-shirts pas banals (aux ?), dont celui-ci, qui contient une question qui ne me semble pas tout à fait triviale... C'est peut-être un classique, j'ai cherché mais rien trouvé...
La question consiste à la calculer la limite quand $n\to \infty$ de l'espérance du nombre de facteurs non carrés parfaits de pgcd($X_n$,$Y_n$) où $X_n$ et $Y_n$ sont indépendantes et uniformes sur $\{1,\ldots,n\}$. Je ne vois pas bien par où prendre le sujet. Dans ce cas, je regarde numériquement ce que ça donne (c'est d'ailleurs ce qui est représenté au verso du T-shirt). Je vous joins les graphiques jusqu'à n=200 (les couleurs sont automatiques, et le choix pas très heureux, j'en conviens).
La suite semble converger vers qq chose comme 0.53.
Qqn aurait des idées géniales sur la méthode pour résoudre la question ?
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Réponses
Pour i=j=120, le pgcd de i et j est évidemment 120, qui a 14 diviseurs non carrés : 2, 3, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 et 120.
Voici les graphiques corrigés !
Si $G=27$ par exemple, on peut écrire $G=3^2.3$, et donc il y a un facteur non carré ? ou aucun ?
Et il y a peut-être d'autres cas limites qu'il faudrait expliquer ?