Restriction d'un Artin dans les idèles

noradan

$\def\fp{{\frak p}}\def\fP{{\frak P}}$Bonjour
$F\subset L,E\subset K$ étant des extensions avec $F/K$ abélienne ${\frak P}_E$ un idéal premier de $E$. On a classiquement $\Big({\fP\over K/E}\Big)\Big|_{L}=\Big({N(\fP)\over L/F}\Big)$.
Ce résultat est-il vrai avec des idèles ? A-t-on $\Big({\mathbf{a}\over K/E}\Big)\Big|_{L}=\Big({N(\mathbf{a})\over L/F}\Big)$, où $\mathbf{a}$ est un idèle de $E$ ?
Il me semble que non ! Car dans la définition idélique du Artin on introduit un $\alpha\in E$ qui n'est pas une norme mais il y a peut-être une astuce ?

Kraw

Si je comprends bien @noradan tu te demandes si le théorème de Hasse dans le cas des idéaux se prolonge dans le cas adélique ?
Déjà pour ton cas, il me semble qu'il faut que F/K soit cyclique et pas simplement abélienne pour que l'on puisse affirmer cela mais si des gens plus expérimentés peuvent confirmer ?
Dans le cas adélique, il existe des extensions qui ont des normes locales partout mais qui ne sont pas des normes globales  ! Donc en général non.
Mais peut être suis je a coté de ta question donc j'attends ton retour !

noradan

$\let\ss\subset\def\fm{{\frak m}}\def\fp{{\frak p}}$
Ca ne me semble pas vraiment lié à Hasse.
C'est en fait un exercice dans N Childress "Class Field Theory" 5.15 p127
"Let $F\ss L and E\ss K$ be number fields and suppose $K/F$ is abelian. If $\mathbf{a}\in J_E$ do we have 
$\Big({\mathbf{a}\over K/E}\Big)\Big|_L=\Big({N_{E/F}(\mathbf{a})\over K/E}\Big)$ as we did with the classical Artin maps on ideals ?"
La définition du Artin idélique introduit un $\alpha\in E$ pour que $\alpha\mathbf{a}\in J_{E,\fm}$ puis par définition $A(\mathbf{a})=\Big({<\alpha\mathbf{a}>\over E/F}\Big)$ où $<\alpha\mathbf{a}>$ est l'idéal associé à cet idèle.
du coup la restriction vaut en effet

$\Big({N_{E/F}(<\alpha\mathbf{a}>)\over K/E}\Big)=\Big({<N_{E/F}(\alpha)N_{E/F}(\mathbf{a})>\over K/E}\Big)$

mais pour que ce second membre soit bien au sens idélique $\Big({N_{E/F}(\mathbf{a})\over K/E}\Big)$ il faudrait idéalement que

$N_{E/F}(\alpha)N_{E/F}(\mathbf{a})\in J_{F,\fm'}$

où $\fm'$ est un $F-$module admissible ce qui ne me parait pas clair du

tout. Pourquoi aurait-on $N_{E/F}(\alpha)N_{E/F}(a_{\fp})=1\mod \fp'^{v(\fm')}$?  

Du coupje répond : non ! mais sans vraiment savoir si ma justification est sensée.

noradan

$\def\fm{{\frak m}}$En fait après réflexion je pense que c'est vrai ! Je n'avais pas réalisé tout de suite que la définition du Artin idélique se fait à coefficient multiplicatif près. donc en fait
$\Big({<N_{E/F}(\alpha)N_{E/F}(\mathbf{a})>\over K/E}\Big)=\Big({<N_{E/F}(\mathbf{a})>\over K/E}\Big)$.
Le point délicat m'apparait être le fait que $\Big({<\alpha\mathbf{a}>\over K/E}\Big)$ ne dépend pas du choix de $\alpha$ et par conséquent du choix de $\fm$ puisqu'en fait le $\alpha$ est un $\alpha_\fm$. Je le prouve en passant par $\fm\fm'$ qui me permet d'utiliser le même $\alpha$ puisque celui-ci résulte du théorème d'approximation et que "l'on approche plus" avec $\fm\fm'$ qu'avec $\fm$ tout seul. or il est clair qu'à $\fm$ fixé les Artin ne dépendent pas de $\alpha$ puisque le quotient de deux $<\alpha \mathbf{a}>$ est principal donc dans le noyau.    

Kraw

J'ai mal compris le problème !

Après une petite recherche j'ai trouvé ce document qui propose un corrigé http://www.im.ufrj.br/~aftab/CFTSolutions.pdf page 18 dans ton cas je crois. Je n'ai pas étudié la démonstration donc je ne te serais pas d'une grande aide.