Un déterminant multiple de la somme des inverses des entiers...?

jp nl

Bonjour.
Dans un vieil "officiel de la taupe", j'ai lu exercice comme ça, qui m'a l'air bancal :

Montrer que $$\begin{vmatrix}3&1&0&...&0\\1&5&1&\ddots&\vdots\\0&4&\ddots&\ddots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&2n-1&1\\0&...&0&n^2&2n+1\end{vmatrix}=(n+1)!\sum_{k=1}^{n+1}\frac1k$$
J'ai du mal à rectifier cet énoncé... ça vous rappelle quelque chose ?
Merci !

JLapin

Je trouve $(n+1)!\Big( \dfrac{5}2 \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}\dfrac 1 k - \dfrac 9 4\Big)$.

Ca se démontre par récurrence double.

jp nl

Mais...

la diagonale comporte n termes (les 2k+1 pour k allant de 1 à n),

la sous-diagonale comporte n termes (les k^2 pour k allant aussi de 1 à n).

Pas très cohérent.

Comment as-tu résolu ce problème (d'énoncé) ?

JLapin

J'avais pas vérifié la cohérence du det.

J'ai bêtement résolu la récurrence $D_n = (2n+1)D_{n-1} - n^2 D_{n-2}$ avec les conditions initiales $D_1 = 3$ et $D_2 = 14$.

Avec les (probablement) bonnes conditions initiales $D_1 = 1$ et $D_2 = 2$, je trouve

$(n+1)!\Big( -\dfrac{1}2 \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}\dfrac 1 k + \dfrac 5 4\Big)$.

Ca se démontre par récurrence double.

jp nl

Ok.

Bon, on parle un peu hors-sol, parce qu'on n'a pas d'énoncé correct, mais :

- je vois d'où vient la relation de récurrence double

- pas comment tu établis une conjecture pour faire la preuve par récurrence (ou qu'est-ce qui m'échappe d'autre ?)

Merci

JLapin

Prends pour diagonale $1,3, 5,...$ jusqu'à $2n+1$. Ca fait $n+1$ termes.

J'appelle $D_n$ le déterminant (d'ordre $n+1$) obtenu.

En développant par rapport à la dernière colonne, puis par rapport à la dernière ligne j'obtiens la relation de récurrence précitée.

Par contre, j'ai merdé dans les conditions initiales : c'est $D_0=1$ et $D_1 = 2$, ce qui donne $(n+1)!$ en fait.

JLapin

Sinon, si on garde la diagonale et la sur-diagonale et que l'on modifie la sous diagonale en la faisant démarrer à 4, on trouve un déterminant d'ordre n qui vaut bien $(n+1)! H_{n+1}$.

jp nl

ça ?

$$\begin{vmatrix}3&1&0&...&0\\4&5&1&\ddots&\vdots\\0&9&\ddots&\ddots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&2n-1&1\\0&...&0&n^2&2n+1\end{vmatrix}=(n+1)!\sum_{k=1}^{n+1}\frac1k$$ ??

Mais je ne sais pas résoudre le type de récurrence double que tu évoques (les coefficients ne sont pas constants !).

Edit : j'ai fait un peu de méli-mélo entre

suites récurrentes linéaire d'ordre 2 (à coefficients non constants)
et
démonstration par récurrence d'ordre 2.

jp nl

Ok.
Si, comme ici, on me donne le résultat, je sais le démontrer (ça fonctionne à partir de $n=3$) : récurrence double, et hop.
Merci !

JLapin

Même pour $n=1$ et $n=2$, ça fonctionne. Les déterminants valent respectivement $3$ et $11$.