Application définie à l'aide de max et min

Julia Paule

Bonjour, au détour d'un document qui traite de l'exposant d'un groupe, je me demande si on peut définir une application qui donne à l'aide des applications $\max$ et $\min$ uniquement, sans utilisation de condition :

pour $a,b \in \N$, $(a,b) \mapsto a$ si $a \geq b$, $0$ sinon.

(à l'instar de $(a,b) \mapsto \max(a,b)=a$ si $a \geq b$, $b$ sinon).

Merci d'avance.

JLapin

On peut écrire $\dfrac{\max(a,b) - b}{\max(a,b) - \min(a,b)}a$ si $a\neq b$ et pour avoir mieux, il suffirait d'une expression sympathique de la fonction qui renvoie $x/|x|$ si $x\neq 0$, $0$ sinon.

Pomme de terre

À peine plus simple : $\dfrac{\max(0, a-b)}{a-b} \times a$ ?

Bibix

Sauf que ces fonction nécessitent une condition ($a \neq b$). Je pense que ce n'est pas possible de le faire sans utilisation de condition.

JLapin

Avec une série de Fourier, on devrait s'en sortir

GaBuZoMeu

Pourquoi pas $a\times \max\big(\min(1,a+1-b),0\big)$ ?

JLapin

Si $a=1/2$ et $b=1$, je trouve $\min(1,a+1-b) = \min(1,1/2) = 1/2$ puis $a\max\big(\min(1,a+1-b),0\big)= a\max(1/2,0)=a/2=1/4$, non ?

Edit : je viens de voir que $a$ et $b$ sont entiers dans l'énoncé !!

GaBuZoMeu

Ben oui, il vaut mieux lire les énoncés.

Julia Paule

Merci beaucoup. Pas mal l'application de @GaBuZoMeu. Mais elle utilise le coefficient $a$, i.e. ne s'exprime pas uniquement en fonction de $\max$ et $\min$, je ne sais pas si on peut la considérer comme répondant au problème.

Ce que j'avais pensé, c'est qu'avec une 2ème application : $(a,b) \mapsto d=b$ si $b>a$, $0$ sinon, combinée avec la 1ère : $(a,b) \mapsto c=a$ si $a \geq b$, $0$ sinon, on a dans tous les cas $c+d=a+b$ et $cd=0$, donc $c$ et $d$ sont les solutions de l'équation $X^2-(c+d)X=0$, ce qui redonne $c+d=a+b$ ou $0$ mais pas $c$ et $d$ en fonction de $\min$ et $\max$.

J'ai l'impression qu'avec ces deux fonctions seulement (sans rien d'autre), ce n'est pas possible.

GaBuZoMeu

Faut tout de même pas pousser !

N'as-tu pas remarqué que j'ai mis aussi un $+$ et un $-$ dans la formule ? Si on n'a droit ni à $\times$ ni à $+$ ...

raoul.S

Julia Paule a dit : 

J'ai l'impression qu'avec ces deux fonctions seulement (sans rien d'autre), ce n'est pas possible.

Non car elles sont symétriques et ta fonction à toi elle ne l'est pas.

Julia Paule

On a droit à toutes les opérations usuelles, mais pas à sortir $a$ et $b$ des formules $\min$ et $\max$, c'est trop facile.

GaBuZoMeu

Hum ... $+$ et $\times$ sont aussi symétriques. On ne construit pas que des fonctions symétriques avec.

Julia Paule

@raoul.S C'est un argument, mais on peut détruire la symétrie en $a$ et $b$ avec par exemple $\max(a-b,b)$.

raoul.S

Oui effectivement, j'avais compris naïvement qu'on se limitait aux fonctions du type $(a,b)\mapsto f(\max(a,b),\min(a,b))$...

GaBuZoMeu

Julia Paule a dit :

On a droit à toutes les opérations usuelles, mais pas à sortir $a$ et $b$ des formules $\min$ et $\max$, c'est trop facile.

????? Euh ... et si tu remplaces $a$ par $\max(a,0)$, tu seras contente ?

Puisque tu ne travailles qu'avec des entiers naturels, tu peux remplacer ma formule par $\max(\min(a,a\times(a+1-b)),0)$.

J'ai sorti le $a$ pour que ça marche aussi pour des entiers relatifs.

Julia Paule

Je serais encore plus contente en remplaçant $a$ par $\max(a,0)$ ! Merci, ça marche, mais rien de simple, tiré un peu par les cheveux, mais ça marche.

GaBuZoMeu

Pas d'accord, ce n'est absolument pas tiré par les cheveux. J'explique : tu cherches un fonction continue polynomiale par morceaux sur $\mathbb R_+^2$, qui vaut $a$ sur $\{(a,b)\in \mathbb R_+^2\mid a \geq b\}$, $0$ sur $\{(a,b)\in \mathbb R_+^2\mid a +1\leq b\}$ et qui raccorde le plus simplement possible entre les deux. Disons $a\times (a+1-b)$ ; ou si on préfère, $b\times(a+1-b)$.

Après, on écrit cette fonction polynomiale par morceaux avec des $\max$ et des $\min$.

La possibilité d'écrire une fonction polynomiale par morceaux au moyen de $\max$ et de $\min$ de polynômes est connue sous le nom de conjecture de Pierce-Birkhoff. Elle a été démontrée en dimension 2 par mon ancien collègue Louis Mahé. Voir https://en.wikipedia.org/wiki/Pierce%E2%80%93Birkhoff_conjecture .

Dans le cas présent, c'est facile à faire.

Dom

Oui. Bizarre de préférer $\max(a;0)$ à $a$ si c’est la même chose.  

Julia Paule

On veut une fonction polynomiale en $a$ et $b$ qui donne $0$ en $a=b-1$ et $a$ en $a=b$. Il faut un peu d'imagination pour trouver $a(a-b+1)$. Après, il s'agit de placer les $\min$ et les $\max$ de telle sorte que cela reste vrai pour $a \leq b-1$ et $a\geq b$.

@Dom, c'est une règle qui dans ce cas, peut être contournée.

GaBuZoMeu

Je n'ai pas beaucoup d'imagination : quand il s'agit de trouver une fonction de $b$ qui vaut $a$ pour $b=a$ et $0$ pour $b=a+1$, je pense à LA fonction affine de $b$ qui fait ça. Et quand j'ai la fonction de $b$ qui vaut $a$ sur l'intervalle $[0,a]$, $a (a-b+1)$ sur l'intervalle $[a,a+1]$ et $0$ sur l'intervalle $[a,+\infty[$, je n'ai pas besoin de beaucoup d'imagination pour l'écrire avec des $\max$ et des $\min$.

Et toi, il te faudrait beaucoup d'imagination ? Même si tu fais un petit dessin ?

Julia Paule

En effet, on peut se ramener à une fonction polynomiale à une variable (en posant $f(b)=ub+v$, et on cherche $u$ et $v$ tels que $f(a)=a$ et $f(a+1)=0$, on obtient bien $f(b)=a(a-b+1))$. Par contre, je vais réfléchir encore un peu pour passer de la courbe aux $\min$ et aux $\max$.

Julia Paule

Ah ça y est. On prolonge la courbe de la fonction polynomiale : $b \mapsto a(a-b+1)$ en-deça de $a$ et au-delà de $a+1$ :

- sur $[0,a]$ (i.e. $b \leq a)$, pour obtenir $a$, on prend le $\min(a,a(a-b+1))$ qui est $\geq 0$, donc $=\max(\min (a,a(a-b+1)),0)$,

- sur $[a+1, +\infty [$ (i.e. $b >a$), pour obtenir $0$, on prend le $\max(a(a-b+1),0)$, et comme $a(a-b+1)=\min (a,a(a-b+1))$ sur cet intervalle, cela fait aussi $\max(\min (a,a(a-b+1)),0)$.

Bravo @GaBuZoMeu.