Équivalence dans un système d'équations

Balta62

Bonjour tout le monde.
Je vous fais part d'un petit problème que j'ai rencontré lors de la résolution d'un système d'équations pour déterminer l'intersection de deux cercles. Mon problème ne se situe pas vraiment dans la résolution de ce système mais plutôt dans le fait que j'ai du mal à comprendre le fait que certains des systèmes que j'obtiens ne sont équivalents. Par exemple, si je cherche l'intersection des cercles de centre $O$ et de rayon $2$ et de centre $(1;2)$ et de rayon $1$, je cherche à résoudre le système :
$\begin{cases}
x^2+y^2=4\\
(x-1)^2-(y-2)^2=1
\end{cases}$ qui lui est équivalent au système (S) : $\begin{cases}
x^2+y^2-4=0\\
x^2+y^2-2x-4y+4=0
\end{cases}$
C'est ici que je rencontre un problème. En effet, j'ai toujours cru (sans doute à tort) qu'un système de la forme : $\begin{cases}                    
a=b\\
c=d
\end{cases}$ était équivalent au système $\begin{cases}
 a=b\\
c-a=d-b
\end{cases}$
Cependant en impliquant cela au système (S), j'obtiendrais que (S) est équivalent au système (S') suivant :
 $\begin{cases}
x^2+y^2-4=0\\
-2x-4y+8=0
\end{cases}$
Or, le problème (qui je pense vous semblera clair) est que ces deux systèmes ne peuvent être équivalents puisque le fait que $(x;y)$ appartienne au cercle de centre $O$ et de rayon 2 et à la droite d'équation $-2x-4y+8=0$ n'implique bien évidemment pas que $(x;y)$ appartienne au cercle de centre $(1;2)$ et de rayon $1$.
Ainsi j'imagine que la fameuse équivalence que j'ai décrite avec mon système contenant des nombres $a$ et $b$ n'est pas juste mais j'ai du mal à voir pourquoi... à moins que le problème soit plus subtil que cela. Si quelqu'un a une idée.
Merci d'avance,
Jérôme.

raoul.S

Balta62 a dit :

Or le problème (qui je pense vous semblera clair) est que ces deux systèmes ne peuvent être équivalents puisque le fait que (x;y) appartienne au cercle de centre O et de rayon 2 et à la droite d'équation -2x-4y+8=0 n'implique bien évidemment pas que (x;y) appartienne au cercle de centre (1;2) et de rayon 1.

Oui ça implique bien que $(x;y)$ appartient au cercle de centre (1;2) et de rayon 1.

Voici les cercles et la droite :  

Math Coss

Le dessin illustre que les deux cercles ont la même intersection qu'un des cercles et la droite. (Celle-ci est appelée axe radical des deux cercles.)