Développement asymptotique compliqué

Velvet

Bonjour

Considérons $\alpha > 0$. On démontre facilement qu'il existe une unique solution $x_\alpha > 0$ à l'équation 
$$x^\alpha+16x^2-9 = 0$$
et, avec un peu plus de travail, on montre que $x_\alpha$ converge vers $\frac 34$ lorsque $\alpha \to + \infty$.

Je voudrais obtenir le prochain terme du développement asymptotique donc j'ai posé $y_\alpha = \frac 34 - x_\alpha$, on a alors
$$\left( \frac34 - y_\alpha\right)^\alpha=9-16\left( \frac34 - y_\alpha\right)^2.$$
On obtient facilement l'équivalent du membre de droite, c'est $24y_\alpha$.
Pour le membre de gauche, je suis beaucoup plus embêté, j'ai envie de dire que c'est équivalent à $(\frac 34)^\alpha$ (ce qui semble se confirmer numériquement), mais je n'arrive pas à le montrer rigoureusement. En factorisant par $\frac 34$ on obtient
$$ \left( \frac34 - y_\alpha\right)^\alpha=\left( \frac34 \right)^\alpha\left( 1 - \frac43 y_\alpha\right)^\alpha$$
mais comme je ne connais pas comment se comporte $y_\alpha$ par rapport à $\alpha$ (c'est justement ce que je cherche à trouver), je ne sais pas comment gérer ce qui suit:
$$ \left( 1 - \frac43 y_\alpha\right)^\alpha = \exp\left( \alpha\ln\left( 1 - \frac43 y_\alpha\right)\right) $$
Puisque $y_\alpha \to 0$, on a $\alpha\ln\left( 1 - \frac43 y_\alpha\right) \sim -\alpha \frac43 y_\alpha$ mais je ne peux rien conclure à partir d'ici.

Avez-vous des idées ? Merci !

JLapin

Tu peux trouver un équivalent simple de $\ln(y_\alpha)$, t'en servir pour démontrer que $y_\alpha = O(\lambda^\alpha)$ pour un certain $\lambda\in ]0,1[$ puis, sauf erreur de calcul obtenir $\ln(y_\alpha) = \ln(3/4) \alpha - \ln(24)+o(1)$, ce qui te donne un équivalent de $y_\alpha$ par passage à l'exponentielle.