Valeur maximale

Keynes

$\newcommand{\S}{\mathfrak{S}}$Bonjour à tous
Manzi possède n timbres et un album avec 10 pages, il distribue les n timbres dans l'album de sorte que chaque page contienne  un nombre distinct de timbres. Il trouve que peu importe comment il fait cela il y a toujours un ensemble de 4 pages tels que le nombre total de timbres  dans ces 4 pages soit au moins n/2. Quelle est la valeur maximale de n
. Soit $\sigma \in \S_{10}$ une permutation   et $n_{\sigma(i)}$ le nombre de timbres sur la page $\sigma(i)$ avec  $n_{\sigma(i)} \not=n_{\sigma(j)}$ si $i\not=j$. Selon ma compréhension le problème  consiste à trouver  $\max(\{ n \in \mathbb{N},\ \exists \sigma \in   \S_{10},\ \sum_{i=1}^{4}n_{\sigma(i)}\geq \frac{n}{4},n_{\sigma(i)}\leq n \})$.
De plus je sais que   $\sum_{i=1}^{4}n_{\sigma(i)}\geq  10$  et $\sum_{i=1}^{10}n_{\sigma(i)}\geq  55$  je  sais que $n \geq 55$. J'avais  voulu regarder $\sum_{\sigma\in  \S_{10}}\sum_{i=1}^{4}n_{\sigma(i)}$ mais pas très concluant.
Besoin d'une aide pour trouver la valeur maximale.

i.zitoussi

Pas la peine de faire intervenir d'emblée les permutations. Tu cherches le plus petit entier $n$ tel que pour tout décuplet d'entiers $(m_1, \cdots, m_{10})$ vérifiant $$\begin{align} &m_1<\cdots <m_{10}\\ &m_1+\cdots+m_{10}=n\end{align}$$ on ait $$m_7+m_8+m_9+m_{10}\geq \frac{n}{2}$$ Le résultat dépend du fait que tu autorises une page vide ou pas (c'est-à-dire que tu autorises $m_1=0$ ou non).

Tonm

Bonjour, ça ne devrait pas être ainsi  pris (formellement). En essayant disons $n$ est pair, je crois $n=140$ ne marche pas (ici à rendre une justification) mais $n=142$ marche.
Par marcher c'est à dire il y a une 'distribution' de timbres tel que pour n'importe quelles $4$ pages; leur  nombre de timbres totales  est inférieur strictement à $\frac{n}{2}$.  On veut le plus petit $n$ qui marche, puis on prend les $4$ pages ayant les timbres maximales, puisque ces pages ont des nombres de timbres distincts, on cherche $x+(x+1)+(x+2)+(x+3)<\frac{n}{2}$. Puis c'est juste des tâtonnements de compléter les timbres en $6$ autres nombres $x_i$ distincts tel que la somme totale (des 10) est $n$.

Tonm

Je n'ais pas vue le post de i.zitoussi,  je crois qu'il y a un $<\frac{n}{2}$  à la place de $\ge \frac{n}{2}$.