Je suis de gauche, et mes domestiques aussi. (Donald Scrooge)
Racines positives d'un polynôme cubique
Bonjour,Soient $p, q, r$ des réels strictement positifs.
Démontrer de quatre (ou plus) façons différentes que $X^3 - pX^2 - qX - r$ n'admet qu'une seule racine positive.
Démontrer de quatre (ou plus) façons différentes que $X^3 - pX^2 - qX - r$ n'admet qu'une seule racine positive.
A+
[Suite à la discussion du forum "Analyse". AD]
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2334581/racine-dun-polynome.
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Réponses
La règle des signes fait effectivement partie des quatre solutions, mais les trois autres ne figurent pas dans le lien indiqué.
A+
On peut aussi étudier les variations de la fonction polynomiale...
Avec la règle des signes, cela fait déjà trois solutions.
A+
Cela nous fait donc cinq solutions, avec Sturm et la fonction auxiliaire.
Une sixième solution consiste à utiliser les relations entre coefficients et racines.
A+
Une septième solution.
Le polynôme a au moins une racine positive.
Par l'absurde, il ne peut pas en avoir deux (produit des racines).
Par l'absurde, il ne peut pas en avoir trois car, sinon, il aurait deux extrema dans les positifs et le trinôme dérivé aurait alors deux racines positives, ce qui est impossible.
A+