Limite de suite et formule de Taylor
Bonjour
J'ai une question concernant un exercice tiré d'un concours. On considère la suite $$ U_n = \sum _{k=0}^n \dfrac{1}{k!}.$$ La question est : à l'aide de la formule de Taylor-Young, déterminer la limite de la suite $U_n$.
J'ai une question concernant un exercice tiré d'un concours. On considère la suite $$ U_n = \sum _{k=0}^n \dfrac{1}{k!}.$$ La question est : à l'aide de la formule de Taylor-Young, déterminer la limite de la suite $U_n$.
Je sais déterminer la limite de la suite grâce à la formule de Taylor-Lagrange (ou reste intégral). On a $\lim U_n = e$. Mais je suis pas sûr qu'on puisse conclure avec la formule de Taylor. Voilà ce que propose un corrigé (non officiel).
Soit $n \in \mathbb{N}$, la fonction $\exp$ est de classe $C^{\infty}$, on peut appliquer la formule de Taylor-Young :
$$ f(a+h) = \sum _{k=0}^n \dfrac{f^{(k)} (a)}{k!} h^k + o(h^n)$$
Appliqué avec $h = 1$ et $a = 0$ : $$\exp(1) = \sum _{k=0}^n \dfrac{1}{k!} + o(1) = U_n + o(1) $$
Et le corrigé conclut avec $ \lim$ $U_n = \exp(1)$ car le reste tend vers $0$ quand $n$ tend vers $ +\infty $.
Et le corrigé conclut avec $ \lim$ $U_n = \exp(1)$ car le reste tend vers $0$ quand $n$ tend vers $ +\infty $.
Sauf que pour moi, on n'a pas assez d'information pour conclure : on sait seulement que le reste tend vers $0$ quand $x$ tend vers $1$. On ne sait pas comment le reste se comporte quand $n$ tend vers $ +\infty $. Bon en l’occurrence, ici le reste va tendre vers $0$ quand $n \rightarrow +\infty $. Mais j'ai le sentiment que ce n'est pas toujours le cas, néanmoins je ne trouve pas de contre-exemple. Est-ce que mon intuition est juste ?
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
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Réponses
Qui ose ? 😄
La formule de Taylor-Young donne seulement une information locale, pour aller au delà de $a$ il faut un contrôle explicite de l'erreur en utilisant par exemple Taylor-Lagrange ou Taylor-Laplace. On ne peut pas prendre $h$ comme ça nous arrange et remplacer un « $o$ quand $h\to 0$ » en « $o$ quand $n\to\infty$ » en mode ni vu ni connu je t'embrouille comme le fait le type de la vidéo.