Bonjour, je me suis bloqué dans un exercice traitant l'irrationnalité de pi ,
A partir de la minute 2.40 , k varie dans somme trouvé entre n et 2n , ma question c'est pourquoi on a ajouté que les ak seront nulles lorsque k<n ? ( K varie entre n et 2n ! )?
Merci d'avance.
Réponses
Mais je suis un peu déçu par l'énoncé de l'exercice et par la correction. Je me permets de mettre ma tamboulle pour essayer de la mémoriser, des fois que ce soit utile aux autres lecteurs de ce fil. Déjà il y a des choses générales qu'on peut dire. Partant d'un polynôme $Q$ quelconque (mais non nul) et d'un intervalle $[a,b]$ (avec $a<b$), et définissant $P_n=\frac{Q^n}{n!}$, puis $I_n=\int_ {a}^ {b}P_n(t)\sin(t)dt$, on peut établir comme dans l'exo :
Or pour tout rationnel $p/q$ on peut construire $Q$ tel que $P_n$ ($=\frac{Q^n}{n!}$) et toutes ses dérivées prennent des valeurs entières en $0$ et $p/q$ (cf question 1).
Donc $\pi$ ne peut pas être rationnel (car sinon, pour ce choix de $Q$, et $a=0$, $b=\pi$, $I_n$ serait manifestement entier pour tout $n$).