Conditions pour qu'une équation conique définisse une ellipse
Bonjour,
Soit Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 une "équation conique" (je ne sais pas comment on appelle ça).
J'ai écrit quelque part que pour qu'elle définisse une ellipse, il y a (entre autres) la condition D*D + E*E > 4*(A+C)*F. Or cela me semble faux, j'ai pu construire des ellipses ne vérifiant pas cette condition. Êtes-vous d'accord que c'est faux ? Je ne sais plus où j'avais trouvé ça. J'ai comme autres conditions B*B-4*A*C < 0 et $\left|\begin{matrix}2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{matrix}\right| \neq 0$. Y a-t-il d'autre conditions?
Soit Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 une "équation conique" (je ne sais pas comment on appelle ça).
J'ai écrit quelque part que pour qu'elle définisse une ellipse, il y a (entre autres) la condition D*D + E*E > 4*(A+C)*F. Or cela me semble faux, j'ai pu construire des ellipses ne vérifiant pas cette condition. Êtes-vous d'accord que c'est faux ? Je ne sais plus où j'avais trouvé ça. J'ai comme autres conditions B*B-4*A*C < 0 et $\left|\begin{matrix}2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{matrix}\right| \neq 0$. Y a-t-il d'autre conditions?
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Réponses
Oui, $B^2-4AC<0$.
Cordialement,
Rescassol
Si B²-4AC<0, alors Ax²+Bxy+Cy² est de signe constant. Or à l'infini il domine asymptotiquement la partie affine Dx+Ey+F dans toutes les directions. Donc Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F est du signe de Ax²+Bxy+Cy² en dehors d'un ensemble borné, et en particulier non nul. Donc la conique est bornée. Donc c'est une ellipse. Et on peut peut-être faire un raisonnement similaire dans l'autre sens.