Représentation de groupes finis

2010068

Bonjour, soit G un groupe fini, (p,V) et (q,F) deux représentations de G de degrés finis, V et F complexes.
Soit, (p',V*)  la représentation duale associée à p, on forme  G-représentation tensorielle z = p' x q.
Si H = Hom(V,F), on peut construire l'action linéaire de G sur H  (g,f) --> q(g)fp(g*(-1)) qui induit une autre représentation z'.
Je ne comprends pas pourquoi z et z' sont équivalentes (cf Cours de Mr Jean Pierre Serre).

Il y a un isomorphisme naturel entre V*tenseurF et Hom(V*,F*) mais pas entre F* et F, et ça ne fonctionne pas en fixant des bases qui diagonalisent (on peut supposer que les représentations sont unitaires).
Pouvez-vous m'éclairer ? 
Bien Cordialement.

JLT

$V^*\otimes F$ est bien isomorphe à $\mathrm{Hom}(V,F)$ par $\varphi\otimes a\mapsto (x\mapsto \varphi(x)a)$.

2010068

Ah c'est vrai j'ai écrit des bêtises  il n'y a pas que les tenseurs purs en fait on obtient tout les endomorphismes de rang 1 donc tous les autres ..
Merci bien