Fibré puissance symétrique

Amédé

Bonjour
On considère un fibré vectoriel lisse $E\longrightarrow M$ au dessus d'une variété différentielle. Je cherche à déterminer l'ensemble des sections du fibré $S(E)\longrightarrow M$, où $S(E)$ est la puissance symétrique de $E$. Ainsi que les connexions. A priori, d'après la littérature succincte que j'ai pu trouver une fibre est $S(E_x)$, où $x\in M$ et $E_x$ est la fibre du fibré $E$ au dessus de $x$. Donc a priori une section de $S(E)$ devrait être $s_1\cdots s_k$ (j'ai noté absence de symbole pour la multiplication dans $S(E_x)$ avec $s_i\in\Gamma(E,M)$. Pour les connexions je pense qu'on peut les écrire $\tilde{\nabla}:\Gamma(M)\otimes\Gamma(S(E),M))\longrightarrow \Gamma(S(E),M))$ telles que $\tilde{\nabla}(X\otimes s_1\cdots s_k)=\sum\limits_{p=1}^ks_1\cdots\nabla_X(s_p)\cdots s_k$, où $\nabla$ est une connexion de $E\longrightarrow M$. Mais bon je ne suis pas sûr. Est-ce que vous connaissez une littérature qui traite de ça ?

Barjovrille

Bonjour je ne suis pas un expert mais voici ce que je peux dire : 
Pour les sections, par définition de $S(E)$ comme somme directe des $k-$ puissance symétrique  une section $s$ s'écrit plutôt comme il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $s= \displaystyle \sum_{k=1}^{n} s_k$ où $s_k$ est une combinaison linéaire de produit de $k$ sections du fibré $E$. Maintenant si le fibré $E$ a une "base" de section il y a des écriture un peu plus explicite en fonction de la base. 
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html
Sur ce site il y a un pdf, qui donne des éléments pour la construction de structure similaires à la puissance symétrique de $E$.
Il faut que tu connaisse la somme directe (externe) d'espace vectoriels, le produit tensoriel d'espaces vectoriel. Et dans le pdf il donne l'équivalent pour les fibrés vectoriels, en gros tu fais des produit tensoriel et des sommes directe fibre par fibre. Et quand tu fais la somme directe de produits tensoriels de fibrés vectoriels ça donne presque une puissance symétrique (pour la loi produit tensoriel, tu peux le faire avec d'autre produits je pense qu'il n'y a pas de problème) il manque une manip pour avoir une algèbre commutative mais ça donne une grosse partie de l'idée. (Et si tu sais comment on écrit les éléments d'une somme directe/"produit" d'ev il n'y a plus qu'a "calquer" sur les sections de la puissance symétrique).
Pour les connexions l'important c'est la règle de Leibniz/dérivation d'un produit (selon ta loi) et les différentes linéarités. Donc une fois que tu as définis une connexion sur le fibré $E$ tu peux en déduire une connexion sur la puissance symétrique avec ce que je viens de te dire (ça revient à écrire ce que tu as écrit mais il faut prendre en compte la correction au tout début du message). 
Si tu veux un exemple "concret" de construction de connexion sur une structure un peu du même type, tu peux voir : 
https://www.amazon.fr/Semi-Riemannian-Geometry-Applications-Relativity-Barrett/dp/0125267401 
C'est pas vraiment puissance symétrique mais à partir d'une connexion définie sur les champs de vecteurs (section du fibré tangent) il construit une connexion sur les 1-formes (section du fibré cotangent) et les champs de tenseurs (section du fibré tensoriel, qui peut s'écrire comme des sommes directes de produit tensoriel de fibrés tangents et cotangents) donc ça peut servir d'illustration sur ce que j'ai dit plus haut, et dans ces cas particuliers on a des "bases", pour chaque fibré vectoriel (tangent cotangent tensoriel) donc ça donne une écriture plus explicite sur les sections et les connexions ( je n'ai pas tout lu donc, je ne sais pas à quel point il explicite la "partie fibré vectoriel" des structures que je viens de citer, à mon avis c'est moins "algèbre", pour mieux se focaliser sur les edp de la relativité, mais ça donne quand même des bons outils pour comprendre).

Amédé

D'accord merci