Groupe alterné et isomorphisme

OShine

Bonsoir,

Je bloque sur quelques détails du corrigé de cet exercice. Le corrigé est très bien détaillé et rédigé, c'est juste que j'ai quelques blocages donc sûrement des lacunes.

Comment démontrer que $\mathfrak{S}_{n}$ s'injecte canoniquement dans $\mathfrak{S}_{n+2}$ ? 
J'ai toujours du mal avec la notion d'injection canonique. 

JLapin

En démontrant que l'application proposée est bien définie et injective.

Kraw

Peut-être est ce le mot "canonique" qui te dérange ? Comprends le comme "naturel" ça t'aidera peut être. Tu es d'accord que l'application que l'on te propose est assez "intuitive" ?

Si, ce n'est pas un problème de définition, il suffit d'appliquer le conseil de @JLapin.

Area 51

Les petits bonshommes de $\mathfrak{S}_n$ ont un air de ressemblance avec ceux de $\mathfrak{S}_{n+2}$ qui fixent les éléments $n+1$ et $n+2$.

lourrran

Si tu copiais les définitions de ces 2 machins dont on parle, et les propriétés élémentaires de ces machins (conformément à ce que tout le monde fait et conformément aux conseils que je te répète tous les 2 jours),  tu les aurais sous les yeux et tu n'aurais plus qu'à jouer avec tout ça. Et tu aurais ta démonstration en 2 minutes.

OShine

D'accord merci. 

@lourran
Soit $B$ un ensemble et $A$ une partie de $B$. L'injection canonique de $A$ dans $B$ est l'application qui à $x$ associe $x$. Lorsque $A=B$ l'injection canonique n'est autre que l'identité de $B$.

Notons :  $B= \mathfrak{S}_{n+2}$ et $A= \{  \text{ensemble des permutations de} \  \mathfrak{S}_{n+2} \ \text{qui fixent n+1 et n+2} \}$ .
On a bien $A \subset B$.
Soit $f : A \longrightarrow B$ définie par $f( \sigma)= \sigma$.
L'application est évidemment injective par définition.
Elle n'est pas surjective, car une permutation de $B$ qui vérifie $\sigma(n+1)=n+2$ et $\sigma(n+2)=n+1$ ne possède pas d'antécédent par $f$.

JLT

Il faut montrer que ton $A$ est isomorphe à $\mathfrak{S}_n$. La partie encadrée de ton scan donne un morphisme $\mathfrak{S}_n\to A$, et ce morphisme est bijectif.

Foys

Le mot "canonique" n'est pas mathématique. C'est plutôt un élément d'argot des mathématiciens pour désigner "l'objet naturel auquel on pense", ou aussi "définissable sans recours aux coordonnées". Je trouve contestable (suis-je le seul) l'emploi de cette expression dans le contexte de cet exo.

gai requin

Canonique parce que pour tout $n$ ?
Ça commence avec la forme canonique en 1ère : Pour tous $a,b,c$, on a $4a^2X^2+4abX+4ac=(2aX+b)^2-\Delta$.

JLT

Canonique n'a en effet pas de sens mathématique précis. En général ça signifie "invariant par tout automorphisme" (je n'arrive pas à donner une définition plus rigoureuse que ça).

Dans le cas qui nous concerne, on a deux ensembles $X\subset Y$, et on a une injection $i_{X,Y}:\mathfrak{S}_X\to \mathfrak{S}_Y$ définie par $i_{X,Y}(\sigma)(x)=\sigma(x)$ pour tout $x\in X$ et $i_{X,Y}(\sigma)(y)=y$ pour tout $y\in Y\setminus X$. L'injection est canonique car si $u:X\to X'$ et $v:Y\to Y'$ sont des bijections telles que $u$ soit la restriction de $v$ à $X$ alors $i_{X',Y'}= v\circ i_{X,Y}\circ u^{-1}$.

lourrran

@OShine
Là, tu me donnes la définition de $B= \mathfrak{S}_{n+2}$ ou plus généralement $\mathfrak{S}_{n}$ 

Tu viens de copier une douzaine d'exercices sur le forum sur ce $\mathfrak{S}_{n}$ , heureusement que tu connais la définition. Même moi, je finis par la connaître, simplement en lisant ce forum.

Mais ici, on nous introduit un nouvel ensemble :  $B= \mathfrak{A}_{n+2}$ que je vois pour la première fois, et qui serait visiblement un sous ensemble de $B= \mathfrak{S}_{n+2}$ et qui ne contiendrait que des permutations paires.  Ce truc est même tellement nouveau que j'ai galéré à trouver le bon symbole Latex.

Du coup, j'aurais aimé que tu me parles de cet ensemble, c'est quoi une permutation paire. Quelle opération ultra-basique peut-on faire pour obtenir une permutation paire quand on a une permutation qui n'est pas paire, ce genre de choses. En gros les 15 premières lignes de cours sur le sous-groupe des permutations paires. (quoi ? les permutations paires seraient un sous-groupe ?)

Ta question initiale portait sur l'injection canonique. 
Dans ce que tu as écrit, tu as défini une fonction injective entre A et B, les 2 ensembles que tu as définis. Tu t'es placé dans un cas particulier, le cas $A \subset B$
Dans la question initiale, nous ne sommes pas dans ce cas là.
Pour A, tu as (presque) réussi à le définir avec des mots concrets : Ensembles des permutations de {1,...,n+2} vers {1,... ,n+2} qui fixent n+1 et n+2.
L'ensemble de départ de l'exercice, ce n'est pas cet ensemble A, c'est un autre ensemble. Quel ensemble, avec des mots concrets lisibles par un lycéen ? Comment conclure ?

Area 51

"canonique" signifie "la plus naturelle qui soit", de sorte qu'on puisse littéralement se passer d'écrire l'application $\text{machin } \mapsto \text{ bidule}$. Expressions courantes comportant cet adjectif : "projection canonique", "isomorphisme canonique", "structure canonique", "écriture canonique", etc. Par exemple : "considérons $\mathbb{C}$ muni de sa structure canonique", ça signifie $\mathbb{C} \simeq \mathbb{R}^2$ avec les lois $+$ et $\times$ de base ; il ne viendrait pas à l'esprit d'une personne saine de représenter un complexe $z$ par $(3-51x,18y+7)$.

À la limite, pour comprendre son sens, tu n'as qu'à le rajouter à la fin de toute assertion. Si ça passe, c'est que tu l'as employé dans un bon contexte. Si tout le monde te tombe dessus "canoniquement", ça te permettra d'affiner la compréhension . En y repensant, ça veut presque dire "standard" ou "conventionnel".

OShine

L'ensemble des permutations paires est le noyau du morphisme signature. 
Une permutation paire est une permutation dont la signature est égale à $1$.

Posons $A=\{ \sigma \in \mathfrak{S}_{n+2} \ | \ \sigma(n+1)=n+1 \ \ \text{et} \ \sigma(n+2)=n+2 \}$.
Montrons que $A$ est isomorphe à $\mathfrak{S}_n$.
Soit $E=\{1, \cdots, n+2 \} \backslash \{n+1,n+2 \}$. 
Soit l'application de prolongement $\pi : \mathfrak{S}(E) \longrightarrow \mathfrak{S}_{n+2}$ définie par $\pi ( \sigma)(n+1)=n+1$, $\pi( \sigma(n+2))=n+2$ et $\pi( \sigma(k))=k$ sinon.
$\pi$ est in morphisme de groupes injectif qui vérifie $Im \ \pi= A$.
Donc $A$ est un sous-groupe de $\mathfrak{S}_{n+2}$ qui est isomorphe à $ \mathfrak{S}(E)$.
Mais comme $\# E=n$ et que d'après le cours, les groupes $\mathfrak{S}(E)$ et $\mathfrak{S}_n$ sont isomorphes, ce qui donne un isomorphisme entre $\mathfrak{S}_n$ et $A$.

lourrran

Bon, admettons que toute cette montagne de symboles admirablement compliqués donne un truc correct (je pense qu'il faut corriger $\pi( \sigma(k))=k$ par $\pi( \sigma(k))=\sigma(k)$, peu importe).

Tu as donc ce '''morphisme injectif canonique'''. La première ligne du corrigé de l'exercice. Reste à regarder quoi faire quand  $\pi(\sigma)$ n'est pas paire.

JLT

OShine a dit :

$\pi$ est in morphisme de groupes injectif qui vérifie $Im \ \pi= A$.

Preuve ?

OShine

@lourran
Le corrigé explique parfaitement la question $a$. C'est impossible de ne pas comprendre.
Par contre dans la b et la c, j'ai un blocage dans le corrigé.

lourrran

Pour la question b), comme d'habitude, commencer par donner les définitions et les propriétés de base.
Ici on nous parle de l'ordre d'un élément. Moi, je ne sais pas ce que c'est l'ordre d'un élément dans tous ces trucs. Donc je ne sais pas faire l'exercice.
Mais par contre, je suppute que le plan, c'est : 
- dans $\mathfrak{S_4}$, il n'y a aucun élément d'ordre 5.
- dans $\mathfrak{A_5}$, il y a des éléments d'ordre 5.
Et à partir de ces 2 informations, on peut conclure sans autre forme de procès qu'il n'y a pas d'isomorphisme entre $\mathfrak{S_4}$ et $\mathfrak{A_5}$ 

JLT

Non le plan c'est plutôt que $\mathfrak{S}_4$ a un élément d'ordre $4$ mais $\mathfrak{A}_5$ n'en a pas donc $\mathfrak{S}_4$ n'est pas isomorphe à un sous-groupe de $\mathfrak{A}_5$.

lourrran

Zut, j'ai failli tomber juste.  

OShine

@JLT
Posons $A=\{ \sigma \in \mathfrak{S}_{n+2} \ | \ \sigma(n+1)=n+1 \ \ \text{et} \ \sigma(n+2)=n+2 \}$.
Montrons que $A$ est isomorphe à $\mathfrak{S}_n$.
Soit $E=\{1, \cdots, n+2 \} \backslash \{n+1,n+2 \}$. 
Soit l'application de prolongement $\pi : \mathfrak{S}(E) \longrightarrow \mathfrak{S}_{n+2}$ définie par $\pi ( \sigma)(n+1)=n+1$, $\pi( \sigma(n+2))=n+2$ et $\pi( \sigma(k))=\sigma(k)$ sinon.
Montrons que : $\pi$ est un morphisme de groupes injectif qui vérifie $Im \ \pi= A$.

• Le morphisme est immédiat.
• Injection : $\ker ( \pi)= \{ \sigma \in  \mathfrak{S}(E) \ | \ \pi( \sigma) = id \}= \{ \sigma \in  \mathfrak{S}(E) \ \ | \ \forall k \in [|1,n |] \ \sigma(k)=k \}=id_E $. Autre méthode, l'antécédent d'un élément de  $\mathfrak{S}_n$ est la restriction $\sigma_{| E}$. 
• $Im(\pi)= \{ \pi ( \sigma) \ | \ \sigma \in  \mathfrak{S}(E) \} = \{ \sigma \in \mathfrak{S}_{n+2} \ | \ \sigma(n+1)=n+1 \ \text{et} \ \sigma(n+2)=n+2 \}=A$.

L'image d'un groupe par un morphisme étant un groupe, $A$ est un sous-groupe de $\mathfrak{S}_{n+2}$ qui est isomorphe à $ \mathfrak{S}(E)$.
Mais comme $\# E=n$ et que d'après le cours, les groupes $\mathfrak{S}(E)$ et $\mathfrak{S}_n$ sont isomorphes, ce qui donne un isomorphisme entre $\mathfrak{S}_n$ et $A$.

Dans les questions b et c, je ne comprends pas les passages surlignés.
Pourquoi on parle de sous-groupe isomorphe à $\mathfrak{S}_4$ ? 
Je n'ai pas compris pourquoi on parle des sous-groupes isomorphes à $A_4$ et qui sont les éléments des sous-groupes isomorphes à $A_4$.
Comment on sait qu'il n'y a pas d'éléments d'ordre $4$ dans les sous-groupes isomorphes à $A_4$ ? 

JLT

Pour la surjectivité de $\pi$ tu n'as rien démontré, seulement paraphrasé ce qu'il fallait démontrer mais passons sur ce point.

Les éléments de $\mathfrak{S}_5$ sont de l'une des formes suivantes :
$\mathrm{Id}$
$(a b)$
$(a b c)$
$(a b c d)$
$(a b c d e)$
$(a b c)(de)$
$(a b)(c d)$.

Exercice :
a) combien y a-t-il d'éléments de chaque type ? Vérifier que la somme fait bien 120.
b) Quels sont les ordres de ces éléments ?
c) Lesquels sont dans $\mathfrak{A}_5$ ?
d) Montrer par exemple que $(a b c d)$ appartient à un sous-groupe isomorphe à $\mathfrak{S}_4$.
e) Montrer que les éléments qui sont dans $\mathfrak{A}_5$ qui ne sont pas des $5$-cycles appartiennent à un sous-groupe isomorphe à $\mathfrak{A}_4$.

OShine

$\newcommand{\A}{\mathfrak{A}}$@JLT Ok merci. 
a) 

• $id$ : $1$ élément.
• $(a \ b)$ : il a $ \binom{5}{2}=10$ éléments.
• $(a \ b \ c)$ : il y a $\dfrac{ 5  \times 4 \times 3}{3}=20$ possibilités.
• $(a \ b \ c \ d)$ : il y  a $\dfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2}{4}=30$ possibilités.
• $(a \ b \ c \ d \ e)$ : il y  a $\dfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5}=24$ possibilités.
• $(a \ b \ c) (d \ e)$ : il y en a $\dfrac{5 \times 4 \times 3}{3} \times \binom{2}{2}=20$ possibilités.
• $(a \ b) (c \ d)$ : il y en a $\binom{5}{2} \times \binom{3}{2}= 10 \times 3=30$

Je trouve $135$ je dois avoir une erreur mais je ne vois pas où.

b) L'ordre de $id$ est $1$.
L'ordre de $(a \ b)$ est $2$.
L'ordre de $(a \ b \ c)$ est $3$.
L'ordre de $(a \ b \ c \ d)$ est $4$.
L'ordre de $(a \ b \ c \ d \ e)$ est $5$.
L'ordre de $(a \ b \ c) (d \ e)$ est $PPCM(3,2)=6$.
L'ordre de $(a \ b) (c \ d)$ est $2$.

c) $id$, $(a \ b \ c)$, $(a \ b \ c \ d \ e \ f)$, $(a \ b)(c \ d)$ sont dans $\A_5$.

d) $(a \ b \ c \ d)$ appartient au sous-groupe engendré par lui-même qui est de cardinal $4$. D'après le théorème de Cayley, $H=\langle (a \ b \ c \ d) \rangle$ peut être identifié à un sous-groupe de $\mathfrak{S} (H) $. $H$ est un ensemble fini à $4$ éléments, d'après le cours, $\mathfrak{S} (H)$ est isomorphe à $\mathfrak{S}_4$

e) Les éléments qui sont dans $\A_5$ et qui ne sont pas un $5$ cycle sont : $id$, $(a \ b \ c)$ et $(a \ b)(c \ d)$.
Je n'ai pas réussi.

JLT

a) Attention que $(a b)(cd)=(cd)(ab)$, il ne faut pas compter deux fois la même permutation.

d) Trouve un sous-groupe plus explicite.

OShine

a) D'accord merci.
d) $(a \ b \ c \ d)$ appartient au sous-groupe $H= \{ \sigma \in \mathfrak{S}_5 \ | \ \exists k \in [|1,5 |] \ \sigma(k)=k \}$ et $H$ est isomorphe à $\mathfrak{S}_4$.
e) J'ai pensé à examiner : $H \cap \mathfrak{A}_5$.  C'est un groupe comme intersection de groupes. 
Il faudrait montrer que $\mathfrak{A}_4 $ est isomorphe à $H \cap \mathfrak{A}_5$.
Mais je ne vois pas comment faire. 

JLT

OShine a dit :

 $H= \{ \sigma \in \mathfrak{S}_5 \mid \exists k \in [|1,5 |] ,\ \sigma(k)=k \}$

Ce n'est pas un groupe.

OShine

$(a \ b \ c \ d)$ est un 4 cycle, il possède donc un point fixe, et ainsi il appartient au sous-groupe des permutations de $\mathfrak{S}_5$ qui fixent un élément $n_0 \in [|1,5|] \backslash \{a,b,c,d \}$. On peut le noter $Stab (n_0)$.
Il est isomorphe à $\mathfrak{S}_4$.

Pour la e, j'ai beaucoup de difficultés.

JLT

L'isomorphisme (que tu n'as pas explicité) envoie une transposition sur une transposition, donc un produit d'un nombre pair de transpositions sur un produit d'un nombre pair de transpositions.

OShine

Je n'ai pas compris qui est cet isomorphisme qui envoie une transposition sur une transposition.
Comment on déduit l'isomorphisme d'un nombre pair de transposition sur un nombre pair de transposition ? 
Je ne comprends pas le rapport avec $(a \ b \ c \ d)$, et encore moins le rapport avec les éléments de $\mathfrak{A}_5$ qui ne sont pas des $5$ cycles.
Je n'ai pas compris le rapport avec la question e.

JLT

Explicite l'isomorphisme de la question d).

OShine

Je ne trouve pas quel est cet isomorphisme.
Je reste toujours bloqué sur cet exercice. 

JLT

Tant pis.

OShine

J'ai laissé passé quelques jours, j'ai une idée.

Soit $n_0 \in [|1,5|] \backslash \{a,b,c,d \}$.
L'application $f : Stab(n_0) \longrightarrow \mathfrak{S}_4 \\ \sigma \mapsto \sigma_{  | \mathfrak{S}_4 }$ est un morphisme injectif.
Pour des raisons de dimensions, il est bijectif.

Or $f( Stab(n_0))$ est un sous-groupe de $\mathfrak{S}_4$, l'image d'un sous-groupe par un morphisme reste un sous-groupe.

On remarque que $\forall \sigma \in Stab(n_0) \ sg( f ( \sigma) )=sg( \sigma)$.

Si $\sigma$ n'est pas un $5$ cycle, et que $\sigma \in \mathfrak{A}_5$, $f( \sigma)=\sigma_{  | \mathfrak{S}_4 } $ appartient à un sous-groupe de $ \mathfrak{S}_4 $.

Pour le sous-groupe isomorphe à $\mathfrak{A}_4$, je ne vois pas trop comment procéder. 

JLT

OShine a dit :

J'ai laissé passé quelques jours, j'ai une idée.

Soit $n_0 \in [|1,5|] \backslash \{a,b,c,d \}$.
L'application $f : Stab(n_0) \longrightarrow \mathfrak{S}_4 \\ \sigma \mapsto \sigma_{  | \mathfrak{S}_4 }$ est un morphisme injectif.
Pour des raisons de dimensions, il est bijectif.

Encore quelques jours pour écrire un truc qui a un sens.