Groupe alterné et isomorphisme
Bonsoir,
Je bloque sur quelques détails du corrigé de cet exercice. Le corrigé est très bien détaillé et rédigé, c'est juste que j'ai quelques blocages donc sûrement des lacunes.
Comment démontrer que $\mathfrak{S}_{n}$ s'injecte canoniquement dans $\mathfrak{S}_{n+2}$ ?
J'ai toujours du mal avec la notion d'injection canonique.
Je bloque sur quelques détails du corrigé de cet exercice. Le corrigé est très bien détaillé et rédigé, c'est juste que j'ai quelques blocages donc sûrement des lacunes.
Comment démontrer que $\mathfrak{S}_{n}$ s'injecte canoniquement dans $\mathfrak{S}_{n+2}$ ?
J'ai toujours du mal avec la notion d'injection canonique.
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Réponses
Si, ce n'est pas un problème de définition, il suffit d'appliquer le conseil de @JLapin.
@lourran
Soit $B$ un ensemble et $A$ une partie de $B$. L'injection canonique de $A$ dans $B$ est l'application qui à $x$ associe $x$. Lorsque $A=B$ l'injection canonique n'est autre que l'identité de $B$.
Notons : $B= \mathfrak{S}_{n+2}$ et $A= \{ \text{ensemble des permutations de} \ \mathfrak{S}_{n+2} \ \text{qui fixent n+1 et n+2} \}$ .
On a bien $A \subset B$.
Soit $f : A \longrightarrow B$ définie par $f( \sigma)= \sigma$.
L'application est évidemment injective par définition.
Elle n'est pas surjective, car une permutation de $B$ qui vérifie $\sigma(n+1)=n+2$ et $\sigma(n+2)=n+1$ ne possède pas d'antécédent par $f$.
Ça commence avec la forme canonique en 1ère : Pour tous $a,b,c$, on a $4a^2X^2+4abX+4ac=(2aX+b)^2-\Delta$.
Là, tu me donnes la définition de $B= \mathfrak{S}_{n+2}$ ou plus généralement $\mathfrak{S}_{n}$
Tu viens de copier une douzaine d'exercices sur le forum sur ce $\mathfrak{S}_{n}$ , heureusement que tu connais la définition. Même moi, je finis par la connaître, simplement en lisant ce forum.
Mais ici, on nous introduit un nouvel ensemble : $B= \mathfrak{A}_{n+2}$ que je vois pour la première fois, et qui serait visiblement un sous ensemble de $B= \mathfrak{S}_{n+2}$ et qui ne contiendrait que des permutations paires. Ce truc est même tellement nouveau que j'ai galéré à trouver le bon symbole Latex.
Du coup, j'aurais aimé que tu me parles de cet ensemble, c'est quoi une permutation paire. Quelle opération ultra-basique peut-on faire pour obtenir une permutation paire quand on a une permutation qui n'est pas paire, ce genre de choses. En gros les 15 premières lignes de cours sur le sous-groupe des permutations paires. (quoi ? les permutations paires seraient un sous-groupe ?)
Ta question initiale portait sur l'injection canonique.
Dans ce que tu as écrit, tu as défini une fonction injective entre A et B, les 2 ensembles que tu as définis. Tu t'es placé dans un cas particulier, le cas $A \subset B$
Dans la question initiale, nous ne sommes pas dans ce cas là.
Pour A, tu as (presque) réussi à le définir avec des mots concrets : Ensembles des permutations de {1,...,n+2} vers {1,... ,n+2} qui fixent n+1 et n+2.
L'ensemble de départ de l'exercice, ce n'est pas cet ensemble A, c'est un autre ensemble. Quel ensemble, avec des mots concrets lisibles par un lycéen ? Comment conclure ?
Une permutation paire est une permutation dont la signature est égale à $1$.
Posons $A=\{ \sigma \in \mathfrak{S}_{n+2} \ | \ \sigma(n+1)=n+1 \ \ \text{et} \ \sigma(n+2)=n+2 \}$.
Montrons que $A$ est isomorphe à $\mathfrak{S}_n$.
Soit $E=\{1, \cdots, n+2 \} \backslash \{n+1,n+2 \}$.
Soit l'application de prolongement $\pi : \mathfrak{S}(E) \longrightarrow \mathfrak{S}_{n+2}$ définie par $\pi ( \sigma)(n+1)=n+1$, $\pi( \sigma(n+2))=n+2$ et $\pi( \sigma(k))=k$ sinon.
$\pi$ est in morphisme de groupes injectif qui vérifie $Im \ \pi= A$.
Donc $A$ est un sous-groupe de $\mathfrak{S}_{n+2}$ qui est isomorphe à $ \mathfrak{S}(E)$.
Mais comme $\# E=n$ et que d'après le cours, les groupes $\mathfrak{S}(E)$ et $\mathfrak{S}_n$ sont isomorphes, ce qui donne un isomorphisme entre $\mathfrak{S}_n$ et $A$.
Tu as donc ce '''morphisme injectif canonique'''. La première ligne du corrigé de l'exercice. Reste à regarder quoi faire quand $\pi(\sigma)$ n'est pas paire.
Le corrigé explique parfaitement la question $a$. C'est impossible de ne pas comprendre.
Par contre dans la b et la c, j'ai un blocage dans le corrigé.
Ici on nous parle de l'ordre d'un élément. Moi, je ne sais pas ce que c'est l'ordre d'un élément dans tous ces trucs. Donc je ne sais pas faire l'exercice.
Mais par contre, je suppute que le plan, c'est :
- dans $\mathfrak{S_4}$, il n'y a aucun élément d'ordre 5.
- dans $\mathfrak{A_5}$, il y a des éléments d'ordre 5.
Et à partir de ces 2 informations, on peut conclure sans autre forme de procès qu'il n'y a pas d'isomorphisme entre $\mathfrak{S_4}$ et $\mathfrak{A_5}$
Posons $A=\{ \sigma \in \mathfrak{S}_{n+2} \ | \ \sigma(n+1)=n+1 \ \ \text{et} \ \sigma(n+2)=n+2 \}$.
Montrons que $A$ est isomorphe à $\mathfrak{S}_n$.
Soit $E=\{1, \cdots, n+2 \} \backslash \{n+1,n+2 \}$.
Soit l'application de prolongement $\pi : \mathfrak{S}(E) \longrightarrow \mathfrak{S}_{n+2}$ définie par $\pi ( \sigma)(n+1)=n+1$, $\pi( \sigma(n+2))=n+2$ et $\pi( \sigma(k))=\sigma(k)$ sinon.
Montrons que : $\pi$ est un morphisme de groupes injectif qui vérifie $Im \ \pi= A$.
- Le morphisme est immédiat.
- Injection : $\ker ( \pi)= \{ \sigma \in \mathfrak{S}(E) \ | \ \pi( \sigma) = id \}= \{ \sigma \in \mathfrak{S}(E) \ \ | \ \forall k \in [|1,n |] \ \sigma(k)=k \}=id_E $. Autre méthode, l'antécédent d'un élément de $\mathfrak{S}_n$ est la restriction $\sigma_{| E}$.
- $Im(\pi)= \{ \pi ( \sigma) \ | \ \sigma \in \mathfrak{S}(E) \} = \{ \sigma \in \mathfrak{S}_{n+2} \ | \ \sigma(n+1)=n+1 \ \text{et} \ \sigma(n+2)=n+2 \}=A$.
L'image d'un groupe par un morphisme étant un groupe, $A$ est un sous-groupe de $\mathfrak{S}_{n+2}$ qui est isomorphe à $ \mathfrak{S}(E)$.Mais comme $\# E=n$ et que d'après le cours, les groupes $\mathfrak{S}(E)$ et $\mathfrak{S}_n$ sont isomorphes, ce qui donne un isomorphisme entre $\mathfrak{S}_n$ et $A$.
Dans les questions b et c, je ne comprends pas les passages surlignés.
Pourquoi on parle de sous-groupe isomorphe à $\mathfrak{S}_4$ ?
Je n'ai pas compris pourquoi on parle des sous-groupes isomorphes à $A_4$ et qui sont les éléments des sous-groupes isomorphes à $A_4$.
Comment on sait qu'il n'y a pas d'éléments d'ordre $4$ dans les sous-groupes isomorphes à $A_4$ ?
$\mathrm{Id}$
$(a b)$
$(a b c)$
$(a b c d)$
$(a b c d e)$
$(a b c)(de)$
$(a b)(c d)$.
Exercice :
a) combien y a-t-il d'éléments de chaque type ? Vérifier que la somme fait bien 120.
b) Quels sont les ordres de ces éléments ?
c) Lesquels sont dans $\mathfrak{A}_5$ ?
d) Montrer par exemple que $(a b c d)$ appartient à un sous-groupe isomorphe à $\mathfrak{S}_4$.
e) Montrer que les éléments qui sont dans $\mathfrak{A}_5$ qui ne sont pas des $5$-cycles appartiennent à un sous-groupe isomorphe à $\mathfrak{A}_4$.
a)
- $id$ : $1$ élément.
- $(a \ b)$ : il a $ \binom{5}{2}=10$ éléments.
- $(a \ b \ c)$ : il y a $\dfrac{ 5 \times 4 \times 3}{3}=20$ possibilités.
- $(a \ b \ c \ d)$ : il y a $\dfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2}{4}=30$ possibilités.
- $(a \ b \ c \ d \ e)$ : il y a $\dfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5}=24$ possibilités.
- $(a \ b \ c) (d \ e)$ : il y en a $\dfrac{5 \times 4 \times 3}{3} \times \binom{2}{2}=20$ possibilités.
- $(a \ b) (c \ d)$ : il y en a $\binom{5}{2} \times \binom{3}{2}= 10 \times 3=30$
Je trouve $135$ je dois avoir une erreur mais je ne vois pas où.b) L'ordre de $id$ est $1$.
L'ordre de $(a \ b)$ est $2$.
L'ordre de $(a \ b \ c)$ est $3$.
L'ordre de $(a \ b \ c \ d)$ est $4$.
L'ordre de $(a \ b \ c \ d \ e)$ est $5$.
L'ordre de $(a \ b \ c) (d \ e)$ est $PPCM(3,2)=6$.
L'ordre de $(a \ b) (c \ d)$ est $2$.
c) $id$, $(a \ b \ c)$, $(a \ b \ c \ d \ e \ f)$, $(a \ b)(c \ d)$ sont dans $\A_5$.
d) $(a \ b \ c \ d)$ appartient au sous-groupe engendré par lui-même qui est de cardinal $4$. D'après le théorème de Cayley, $H=\langle (a \ b \ c \ d) \rangle$ peut être identifié à un sous-groupe de $\mathfrak{S} (H) $. $H$ est un ensemble fini à $4$ éléments, d'après le cours, $\mathfrak{S} (H)$ est isomorphe à $\mathfrak{S}_4$
e) Les éléments qui sont dans $\A_5$ et qui ne sont pas un $5$ cycle sont : $id$, $(a \ b \ c)$ et $(a \ b)(c \ d)$.
Je n'ai pas réussi.
d) $(a \ b \ c \ d)$ appartient au sous-groupe $H= \{ \sigma \in \mathfrak{S}_5 \ | \ \exists k \in [|1,5 |] \ \sigma(k)=k \}$ et $H$ est isomorphe à $\mathfrak{S}_4$.
e) J'ai pensé à examiner : $H \cap \mathfrak{A}_5$. C'est un groupe comme intersection de groupes.
Il faudrait montrer que $\mathfrak{A}_4 $ est isomorphe à $H \cap \mathfrak{A}_5$.
Mais je ne vois pas comment faire.
Il est isomorphe à $\mathfrak{S}_4$.
Pour la e, j'ai beaucoup de difficultés.
Comment on déduit l'isomorphisme d'un nombre pair de transposition sur un nombre pair de transposition ?
Je ne comprends pas le rapport avec $(a \ b \ c \ d)$, et encore moins le rapport avec les éléments de $\mathfrak{A}_5$ qui ne sont pas des $5$ cycles.
Je n'ai pas compris le rapport avec la question e.
Je reste toujours bloqué sur cet exercice.
Soit $n_0 \in [|1,5|] \backslash \{a,b,c,d \}$.
L'application $f : Stab(n_0) \longrightarrow \mathfrak{S}_4 \\ \sigma \mapsto \sigma_{ | \mathfrak{S}_4 }$ est un morphisme injectif.
Pour des raisons de dimensions, il est bijectif.
Or $f( Stab(n_0))$ est un sous-groupe de $\mathfrak{S}_4$, l'image d'un sous-groupe par un morphisme reste un sous-groupe.
On remarque que $\forall \sigma \in Stab(n_0) \ sg( f ( \sigma) )=sg( \sigma)$.
Si $\sigma$ n'est pas un $5$ cycle, et que $\sigma \in \mathfrak{A}_5$, $f( \sigma)=\sigma_{ | \mathfrak{S}_4 } $ appartient à un sous-groupe de $ \mathfrak{S}_4 $.
Pour le sous-groupe isomorphe à $\mathfrak{A}_4$, je ne vois pas trop comment procéder.