Pavage apériodique à tuile unique sans retournement ?
Bonjour,
Aurait-on découvert une solution du problème einstein ?
J'ai lu cette information au passage sur Wikipédia.
Pas encore pris le temps d'y regarder de plus près because ma piètre maîtrise de la langue de Shakespeare.
Je vous livre une image et un lien
Voici le lien vers une récente publication sur Arxiv :
2305.17743.pdf (arxiv.org)
Bon dimanche. jacquot
Aurait-on découvert une solution du problème einstein ?
J'ai lu cette information au passage sur Wikipédia.
Pas encore pris le temps d'y regarder de plus près because ma piètre maîtrise de la langue de Shakespeare.
Je vous livre une image et un lien
Voici le lien vers une récente publication sur Arxiv :
2305.17743.pdf (arxiv.org)
Bon dimanche. jacquot
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Réponses
Ses inventeurs l'ont appelée spectre, normal, ils viennent du pays des fantômes !
ses 14 côtés sont unitaires et ses angles font 120° aux sommets rouges, 90° ou 180° aux sommets bleus.
(à suivre)
Je remercie @Ludwig pour ses constructions du spectre.
J'ai recontacté Craig Kaplan qui m'avait gentiment répondu au sujet d'un calcul de fréquence concernant le pavage à "chemises" (avec retournement).
Je l'ai évidemment félicité pour cette nouvelle avancée qui suit la première de très près !
Voici deux images que je trouve parlantes:
les tuiles grisées sont celles qui n'ont une frontière commune qu'avec 4 voisines.
Leur fréquence est, selon mes calculs, $\dfrac {5-\sqrt{15}}{10}$ (irrationnelle).
et une animation qui montre l'équivalence du pavage à spectres avec des pavages mixtes combinant des chemises et des tortues:
Amicalement. jacquot
https://fr.yahoo.com/news/amateur-résout-problème-vieux-60-134114963.html
Qu’est-ce monotuile apériodique dit aussi des einstein ?
Merci
Deux précisions concernant le coloriage des tuiles sur les figures prédéentes:
Sur la première figure, on voit des groupes de deux tuiles coloriées, l'une claire , l'autre plus sombre. Cet assemblage est appelé Mystic par les concepteurs. Il joue un rôle dans l'algorithme de développement du pavage.
Sur la partie droite de la figure, les bords des tuiles sont arrondis pour empêcher le retournement de la tuile ainsi, tout pavage réalisé à l'aide de cette tuile à bords arrondis est nécessairement apériodique.
Sur les figures suivantes, les tuiles coloriées sont les tuiles "impaires".
Ainsi deux tuiles sont de la même couleur si et seulement si elles sont superposables par une translation ou une rotation d'angle $k\times 60°$.
Deux tuiles de couleurs différentes sont, elles, superopsables par une rotation d'angle $(2k+1)\times 30°$.
Si l'on désigne par tuiles paires celles qui appartiennent au groupe majoritaire, il y a $4+\sqrt{15}$ fois plus de tuiles paires que de tuiles impaires.
Amicalement. jacquot