Fonction limite dans une suite de fonctions $(f_{n})$? Comment la détecter ?
Bonjour
Je suis en train d'étudier les différentes formes de convergence (simple, uniforme, en général dans les espaces normés, avec produit scalaire, etc.). Par exemple, si nous voulons montrer qu'une suite de fonctions $f_n$ converge fortement dans un espace normé $X$ vers une fonction $f\in X$, nous montrons que $\|f_{n}-f\|_{X}\to 0$. Cela signifie qu'il faut déjà connaître la candidate $f$ à l'avance. Alors, quels sont les méthodes pour trouver cette $f$ ? Des exemples ou des références seraient les bienvenus. Une méthode que je connais est d'essayer d'étudier la convergence simple et d'utiliser la limite de la suite comme cette candidate.
Voici un exemple que j'essaie de réaliser : étudier la convergence forte de la suite $f_{n}(x)=\frac{n^{2}}{x^{2}+n^{2}}$ dans $L^{2}([0,1];\mathbf{R})$.
- Étape 1 : Trouver une fonction candidate $f$. On peut essayer avec la convergence simple, puisque $$\forall x\in [0,1],\, f_{n}(x)=\frac{n^{2}}{n^{2}+x^{2}}=\frac{1}{1+\frac{x^{2}}{n^{2}}}\to1:=f$$
- Étape 2 : Calculer $\|f_{n}-f\|_{L^{2}[0,1]}$. Pour cela, nous avons : $$\|f_{n}-f\|_{L^{2}([0,1]}=\|1-\frac{n^{2}}{n^{2}+x^{2}}\|_{L^{2}([0,1])}=\sqrt{\int_{0}^{1}(\frac{x^{2}}{n^{2}+x^{2}})^{2}dx}=\sqrt{\frac{1}{2}(3-\frac{1}{1+n^{2}}-3n\cot^{-1}(n))}\to 0$$
Donc $f_{n}\to f$ fortement dans $L^{2}([0,1])$.
Est-ce que cette solution est correcte ? (Je sais que l'intégrale nécessite plus de détails et je peux les ajouter si nécessaire, mais ce n'est pas l'objet de ma question). Y a-t-il une autre façon de trouver la fonction candidate limite $f$ ? Je travaille sur plusieurs problèmes de convergence (simple, forte, faible) et j'aimerais savoir comment les aborder. Je remarque également que l'étape 2 n'est pas si efficace, en revanche, je constate que tester d'abord la convergence uniforme me permettrait de conclure par un résultat la convergence dans $L^{2}([0,1])$.
Merci d'avance.
Cordialement.
AP.
Je suis en train d'étudier les différentes formes de convergence (simple, uniforme, en général dans les espaces normés, avec produit scalaire, etc.). Par exemple, si nous voulons montrer qu'une suite de fonctions $f_n$ converge fortement dans un espace normé $X$ vers une fonction $f\in X$, nous montrons que $\|f_{n}-f\|_{X}\to 0$. Cela signifie qu'il faut déjà connaître la candidate $f$ à l'avance. Alors, quels sont les méthodes pour trouver cette $f$ ? Des exemples ou des références seraient les bienvenus. Une méthode que je connais est d'essayer d'étudier la convergence simple et d'utiliser la limite de la suite comme cette candidate.
Voici un exemple que j'essaie de réaliser : étudier la convergence forte de la suite $f_{n}(x)=\frac{n^{2}}{x^{2}+n^{2}}$ dans $L^{2}([0,1];\mathbf{R})$.
- Étape 1 : Trouver une fonction candidate $f$. On peut essayer avec la convergence simple, puisque $$\forall x\in [0,1],\, f_{n}(x)=\frac{n^{2}}{n^{2}+x^{2}}=\frac{1}{1+\frac{x^{2}}{n^{2}}}\to1:=f$$
- Étape 2 : Calculer $\|f_{n}-f\|_{L^{2}[0,1]}$. Pour cela, nous avons : $$\|f_{n}-f\|_{L^{2}([0,1]}=\|1-\frac{n^{2}}{n^{2}+x^{2}}\|_{L^{2}([0,1])}=\sqrt{\int_{0}^{1}(\frac{x^{2}}{n^{2}+x^{2}})^{2}dx}=\sqrt{\frac{1}{2}(3-\frac{1}{1+n^{2}}-3n\cot^{-1}(n))}\to 0$$
Donc $f_{n}\to f$ fortement dans $L^{2}([0,1])$.
Est-ce que cette solution est correcte ? (Je sais que l'intégrale nécessite plus de détails et je peux les ajouter si nécessaire, mais ce n'est pas l'objet de ma question). Y a-t-il une autre façon de trouver la fonction candidate limite $f$ ? Je travaille sur plusieurs problèmes de convergence (simple, forte, faible) et j'aimerais savoir comment les aborder. Je remarque également que l'étape 2 n'est pas si efficace, en revanche, je constate que tester d'abord la convergence uniforme me permettrait de conclure par un résultat la convergence dans $L^{2}([0,1])$.
Merci d'avance.
Cordialement.
AP.
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Réponses
De façon générale il vaut mieux prendre l'outil grossier et rapide, et s'il ne suffit pas on affine petit à petit. Cela permet au passage de mieux voir pourquoi l'outil grossier ne fonctionne éventuellement pas et donc de mieux cerner la difficulté et s'y adapter.
* Modifié/sous: Merci raoul.S pour votre réponse. Cela éclaire beaucoup plus la situation avec laquelle je dois travailler.
Si tu ne veux pas utiliser le fait que $\|f_n\|\to 0$ pour démontrer la convergence faible, alors tu pourrais utiliser le théorème de convergence dominée (même si ce n'est pas super comme démarche...). En effet, $\lim_{n\to \infty} f_n(x)g(x)=0$ presque partout et pour tout $n\geq 1$, $|f_ng|\leq |f_1g|$ presque partout et $f_1g\in L^1(\R)$, donc par le théorème de convergence dominée, $\lim_{n\to \infty}\int_{\R}f_n(x)g(x)dx=\int_{\R}0 dx=0$.