Est-il possible de démontrer Syracuse avec un système binaire ?
Bonjour a tous
Voici que je me pose la question de l'utilisation du système binaire (d'où mon post dans informatique théorique) pour démontrer Syracuse.
si n est impair, on fait 3n+1
Si n est pair, on fait n/2
Le but étant de démontrer que tous les n (entiers naturels) tendent vers le même cycle.
Soit n = 2^k+2^k-1+...
Par exemple : 7 = 2^2+2^1+2^0
D'où le système binaire avec 1 et 0 qui le traduit.
Exemple : chaque groupe {1,0,1} *3 fera toujours {1,1,1,1}
Voici que je me pose la question de l'utilisation du système binaire (d'où mon post dans informatique théorique) pour démontrer Syracuse.
En effet je ne suis absolument pas familier avec ce système de calcul. Reprenons en replaçant la conjecture, donc pour le moment non démontrée, de Syracuse.
(Rapide entrée en matière)
C'est une suite (3n+1)/2 si n est impair, on fait 3n+1
Si n est pair, on fait n/2
Le but étant de démontrer que tous les n (entiers naturels) tendent vers le même cycle.
Et de démontrer que se cycle est 4,2,1...
Commençons !
Nous allons admettre qu'il n'est pertinent que de s'intéresser aux nombres impairs et que le cycle que l'on cherche n'est autre que la répétition du 1.
Qu'est ce que n impair ? Un entier naturel ?
Ok donc il peut être démontré que n peut s'écrire comme la somme des puissances de 2.Nous allons admettre qu'il n'est pertinent que de s'intéresser aux nombres impairs et que le cycle que l'on cherche n'est autre que la répétition du 1.
Qu'est ce que n impair ? Un entier naturel ?
Soit n = 2^k+2^k-1+...
Par exemple : 7 = 2^2+2^1+2^0
D'où le système binaire avec 1 et 0 qui le traduit.
=> 7 = {1,1,1}
La question générale est donc :
(3*7)+1 = ??
(3*7)+1 = ??
Question 1.
Faire n+1 dans le système binaire revient a inverser tous les premiers termes 1 jusqu'au premier 0 ?
Ok je saisis l'idée mais comment je démontre ce simple fait ?
Faire n+1 dans le système binaire revient a inverser tous les premiers termes 1 jusqu'au premier 0 ?
Ok je saisis l'idée mais comment je démontre ce simple fait ?
Question 2.
Faire 3*n dans le système binaire a quoi correspond-il ?
Y a-t-il des groupes binaires dont on peut déduire le résultat. Comme des motifs graphiques.Faire 3*n dans le système binaire a quoi correspond-il ?
Exemple : chaque groupe {1,0,1} *3 fera toujours {1,1,1,1}
Comment scinder les groupes ? Par terme avec autant de 0 que de 1 ?
Voici mes petites questions de néophytes.
Merci d'avance pour vos réponses,
Marc.
Merci d'avance pour vos réponses,
Marc.
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Réponses
Cordialement.
Gérard, en effet quand je parle de "premiers" 1 je parle de ceux de droite, des "premières" puissance de 2. En effet ce n'était pas dans le sens de lecture.
Mais si ce n'est les termes, au moins tu es d'accord avec la première question.
😂 Et non je ne vais pas m'amuser a calculer quoique se soit, la démonstration par l'absurde sera peut être faisable mais de mon côté l'idée est plutôt de donner l'explication en base deux car c'est le sujet de la conjecture : soit n est pair, soit impair et selon, l'opération change (3n+1) ou (n/2) ce qui se traduit en binaire par dire vulgairement
3n+1 = ( {1,0,1...,0,1} + {1,0,1,...,0,1,1} ) *merci M Coss et
n/2 = (la suppression de tous les 0 de "droite" donc les premières puissances de deux.)
Partant de cette représentation je trouve qu'on a beaucoup plus l'intuition que le chiffre final sera {1} et ce tant qu'il y a "effacement" des 0 dans le chiffre ce qui voudrait dire aussi que le seul n qui ne respecte pas Syracuse serait un chiffre sans 0... Donc l'infini... 😂 On est bien.
Merci Math Coss de me confirmer que les opérations en base deux et dix sont similaires la mulplication, l'addition et la division sont faisables c'est un bon début.
D'ailleurs j'aime ta représensation car on peut y voir que *3 c'est "ajouter un zéro à droite, puis ajouter le nombre de départ " (Math Coss)
On a donc un "phénomène" de "décalage" des 1
- hors 1+1 = 10 en binaire.
Important !
Ne peut on pas en déduire ce qu'il advient de {0,1...} ? De {0,1,1,...} ? Mais aussi de {...0,1} ? Et {...,0,1,...,1} ?
Et notamment en déduire que des 0 sont créés et créables sur tout l'ensemble des termes ?
Est il possible que si un chiffre s'écrivent avec plus de 0 que de 1 comme {0,0,1,0,0,1}, alors ce chiffre est condamné a faire {1} ?
Du coup y a t il un chiffre avec moins de 0 que de 1, et qui ne respecte pas notre représentation de Syracuse ?
cet infini quel coquin 😜.
Car en binaire écrire {1,0,1} et {0,0,1,0,1} c'est en fait ajouter zéro mais avec l'idée précédente c'est essentiel !
Mais en dehors de vous faire sourire je suis plutôt sérieux sur toutes mes interrogations précédentes et je ne dispose clairement pas des outils pour publier une démonstation claire et précise, c'est pour ça que je viens demander de l'aide ici 🤩👌.
Et désolé d'avoir fait polémique entre informatique et mathématiques 😂.
Intuitivement,
Marc
Reformuler la conjecture de Syracuse, en enlevant les divisions par $2$. Et donc, au lieu de faire $3n+1$ quand $n$ est impair, l'idée était de faire systématiquement $3n + 2^k$, avec k correctement calculé pour reproduire le fonctionnement que l'on connaît. Et de s'arrêter quand on arrive à une puissance de $2$.
Dans les faits, c'est l'idée de compter en binaire.
Toutes les idées à la portée d'un matheux 'moyen' voire 'brillant' ont été étudiées en long, en large et en travers, des milliers de fois.
Il y a 300 étudiants qui sortent de Polytechnique tous les ans. Allez, à la louche, il y a la moitié de ces gens là qui ont 'réfléchi' sur cette conjecture à un moment ou un autre, et qui ont pensé à cette idée de compter en binaire (en fait, non, ils ont réfléchi à la conjecture, et ils ont rapidement compris que compter en binaire n'aidait en rien).
Je ne sais pas trop quoi vous répondre sur les non-arguments non-mathematiques.
...
Je prends note des documents cités et aussi du fait que les "intuitions" que j'évoque vous sont contradictoire.
Toujours intéressé pour de nouveaux retours 👍😁
Si n est impair, on calcule 5n+1 (et non plus 3n+1)
Si n est pair, on le divise par 2
Est-ce que partant de n'importe quel nombre, on arrive à 1 ?
Les arguments (ou les intuitions) que tu développes dans ce message s'appliquent aussi à cette autre suite. Et donc, si tes arguments sont solides, cette autre suite que je te propose va faire que, partant de n'importe quel nombre, on arriverait aussi à 1.
Or , pas de chance ....
Cordialement.
Comment faire une démonstration mathématiques ?
Par quoi commence-t-on ?
Établir un espace de travail ?
Tout ça adapté au cadre précédent bien entendu, quelles sont les questions auxquelles je dois répondre ?
Je vais réfléchir à 5n+1 mais la transformation binaire n'a pas du tout la même forme et les "groupes" de {0,1,...,1} ne répondent pas aux même caractéristiques donc a priori je dirai que selon certaines conditions il y a convergence mais les convergences sont multiples donc il y a parfois divergence ou convergence on doit pouvoir établir les conditions de convergence en fonction des "groupes"...
Bref toujours intéressé par vos conseils et méthodologies
Une démonstration mathématique est une "suite d'évidences" au sens où chaque nouvelle phrase est obtenue en appliquant aux hypothèses et aux propriétés démontrées (généralement à une partie d'entre elles) une règle mathématique ou logique.
Cordialement.
C'est une très bonne question, et les plus grands mathématiciens ont cherché, et n'ont pas trouvé. Par exemple Terence Tao. Il est considéré comme le plus grand mathématicien actuel (ou au moins sur le podium). Il y a quelques années, il a travaillé sur le sujet, pendant plusieurs mois. On considère que ses travaux ont fait avancer les résultats, mais même Tao lui-même considère que ce problème est trop difficile pour lui.
Petite question méthode.
Si je montre que le nombre n passe par un maximum "M" via la suite (3n+1) / 2. Cela n'implique pas de convergence ou alors si ?
- Cela supprime la divergence c'est certain puisqu'une valeur maximum est mise en évidence.
Cependant il manque de montrer que n+1 > n or cet état n'est pas vrai pour tout n, je montre juste que M > n pour tous les n suivant la transformation de syracuse...
Quelle serait la bonne piste pour utiliser ce M ?
Merci d'avance,
Marc
On définit la suite récurrente $u_{n+1} = \begin{cases} \frac{u_n}{2} \\ \frac{3 u_n+1}{2} \end{cases}$. On suppose qu'il existe $M > 0$ et un entier $N >0$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n > N$. Alors comme $u_n$ est une suite d'entiers, on a $u_n \in \{1,2,3,4,...,M-1,M\} = [|1, M|]$ pour tout $n > N$. Ainsi, $u_{n+M} \in \{u_n, u_{n+1}, ..., u_{n+M-1}\}$ par le principe des tiroirs et le fait que la suite soit récurrente donc la suite converge vers un cycle.
À partir de :
si n est impair, on fait 3n+1
Si n est pair, on fait n/2
Si tu veux t'intéresser à cette conjecture, il faut lire, lire et lire des publications sérieuses sur le sujet. Faire le tour de ce qui a été découvert, et de ce qui reste à découvrir. Il y a une semaine, tu parlais de démonstration de la conjecture, et tu ne t'es pas du tout informé sur ce qui a déjà été fait sur le sujet ????
Voici un lien de vulgarisation sur les cycles, où on explique pas à pas comment on arrive à la conclusion : il peut y avoir des cycles, on ne sait pas, mais s'il y a des cycles, ces cycles contiennent au moins 17 milliards de nombres (donc on part d'un nombre, on fait 17 Milliards de fois l'opération 3n+1 ou n/2, et éventuellement, on pourrait retomber sur le nombre de départ).
Pour trouver ce lien, j'ai simplement tapé "CNRS conjecture de Syracuse" sur mon moteur de recherche. Rien de bien original.
Tu peux aussi tout simplement lire la page wikipedia sur la conjecture de Syracuse, on y parle d'approche binaire (tu n'es pas le premier à y penser), on y donne ce résultat sur les éventuels cycles, qui ne peuvent avoir une longueur inférieure à 17 Milliards....
Si n décroît, cela implique qu'il y a plus de divisions que de multiplications dans la suite $U_n$. Je n'ai pas vérifié, mais si je veux que cela ne converge pas, il suffit de générer plus d'entiers impairs que d'entiers pairs.
Quelque chose du style :
- Si n est impair, on fait 3n.
- Si n est pair, on fait n/2 + 1
Il doit y avoir quelque chose qui m'échappe dans cette histoire.Tu découvres les évidences que tout le monde connaît, et tu raisonnes à vide.
Si n est pair, on fait n/2
On constate que la suite converge toujours vers 1 , donc on passe plus souvent par des nombres pairs que par des nombres impairs.
Et donc, comme il y a plus de nombres pairs, la suite converge vers 1.
CQFD.
On démontre qu’alors on a deux fois plus de nombres pairs que de nombres impairs dans cette suite, en moyenne.
Et partant d'un nombre pair, on fait une opération qui elle est 'neutre', elle peut donner un nombre pair, ou impair, sans favoriser un ensemble ni l'autre.
si n est impair, on fait 3n+1
si n est pair, on fait n/2.
« Il reste donc à comprendre pourquoi il n'y a pas d'autre cycle que 1-4-2 dans la suite »
Est-ce un avancement sur la conjecture ?
Si n est pair, on fait n/2
Es-tu conscient que tu ne fais pas de mathématiques, là ? Que toutes ces idées vagues ne font pas avancer ?
il y a plus de valeurs paires P que d'impaires I alors la convergence vers 1 est "induite"...
Prenons Un avec (5n+1)/2 sur le même modèle que (3n+1)/2
On observe que P>I on devrait donc en conclure que Un converge vers 1...
J'en déduit donc que ton postulat est faux puisque j'ai trouvé un contre-exemple.
Après tout ces messages "d'encouragements" je pense que j'ai compris et je vous propose de laisser la place à ceux qui voudraient s'amuser comme moi à parler de cette conjecture.
L'idée de Rourou vous fait peut être frémir mais je pense que depuis 20 messages vous auriez pu simplement tenter de démontrer que son postulat n'est pas applicable, plutôt que de donner des non-arguments non-mathématiques...
non, c’est « si ça converge vers 1, alors il y a plus de pairs que d’impairs »
Donc projeté à l'infini en effet P>I avec certitude.