Déterminants

math65

Bonsoir
Je tente maintenant de résoudre

Pour la première question je démontre par récurrence. Pour la partie hérédité, je tombe sur

$\det (xI_{n+1}-M)=(x-a_{11}) \det(xI_n-(a_{ij})_{i\ne 1 j \ne 1}) +\sum_{j=2}^{n} (-1)^{1+j}a_{1j} \Delta_{1j}$

Je me demande si il y a une manière simple de donner le degré de $ \Delta_{1j}$.

Merci.

JLapin

Développe directement en sommant sur toutes les permutations. Pas besoin de récurrence.

math65

Si on permute deux colonnes, cela change le signe du déterminant. Comment sommer ?

DeGeer

Il y a une formule qui donne le déterminant d'une matrice sous la forme d'une somme indexée sur les permutations.

math65

Je suppose que c'est cette formule ci-dessus.

math65

Il faut choisir dans cette somme le terme où la permutation est l'identité. Ce terme est alors de degré $n$. Comment puis-je savoir que ce terme ne s'annule pas par la suite avec un autre terme ?
Merci.

DeGeer

Il n'y a dans cette somme qu'un seul terme polynomial de degré $n$, les autres étant de degré strictement inférieur.

math65

@DeGeer Comment le prouver ?

Soc

Comme tu l'as dit, si l'on prend tous les facteurs sur la diagonale, alors le produit est de degré n.
Mais la réciproque est vraie également, pour avoir un terme de degré n, il faut que tous les facteurs soient pris sur la diagonale. C'est donc le seul terme de degré n et il ne peut donc pas s'annuler avec les autres.

OShine

Très intéressant cet exercice.

La question a est facile.

On a $\boxed{\forall x \in K ,\ f(x)=\displaystyle\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n \left( x \delta_{\sigma(i) i}-m_{\sigma(i)i} \right)}$ donc $f$ est polynomiale.

Pour b, il faut observer le produit $\displaystyle\prod_{i=1}^n \left( x \delta_{\sigma(i) i}-m_{\sigma(i)i} \right)$.
Le terme constant est très simple à identifier.
Le cas $n=2$ peut être intéressant, car alors $\mathfrak S_2= \{ id , (1 \ 2) \}$.

OShine

J'ai trouvé le terme constant et le terme de plus haut degré mais je te laisse chercher. 
Le terme de degré $n-1$ est plus délicat, il faut utiliser les relations coefficients racines.

Soc

@OShine : De degré au plus n ne répond pas à la question 1.

OShine

En effet, finalement j'ai trouvé la question b aussi, le coefficient de degré $n-1$ découle des relations coefficients racines.

$\deg \ f(x) \leq \max_{\sigma \in \mathfrak{S}_n } \deg \Big( \varepsilon(\sigma) \displaystyle\prod_{i=1}^n ( x \delta_{\sigma(i)i}-m_{\sigma(i)i} ) \Big)$.
Or $\deg \Big( \varepsilon(\sigma) \displaystyle\prod_{i=1}^n ( x \delta_{\sigma(i)i}-m_{\sigma(i)i} ) \Big) =\sum_{i=1}^n \deg ( x \delta_{\sigma(i)i}-m_{\sigma(i)i} ) =\sum_{i=1}^n 1=n$.
Donc $\deg f(x) \leq \max_{\sigma \in \mathfrak{S}_n } n = n$.
On a montré $\boxed{\deg f(x) \leq n}$.

math65

Bonsoir
Le terme de degré $n$ est celui obtenu en développant le seul terme de degré $n$ qui est  $(x-m_{11})(x-m_{22})...(x-m_{nn})$.
Il est logique que ce terme soit $x^n$.
Pour le terme constant et celui de degré $n-1$, je ne vois pas trop.
Merci.

Soc

Pour le terme de degré n-1 tu le trouveras aussi en développant $(x-m_{11})(x-m_{22})...(x-m_{nn})$ car dans tous les autres termes de ton déterminant tu auras au plus du degré n-2.

Pour le terme constant il faut comprendre qu'il ne faut prendre aucun x dans chaque terme et c'est facile à voir mais casse-pieds à rédiger, donc le plus simple est de voir que tu le trouves en prenant x=0.

OShine

Il faut que tu regardes un cours sur les relations coefficients racines. 
Ce genre de raisonnement revient très fréquemment.

Terme constant : notons-le $C$. 
Dans le produit, on ne prend aucun $x$ lorsqu'on développe, ce qui donne $C=\displaystyle\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n } \varepsilon( \sigma) \displaystyle\prod_{i=1}^n (- m_{\sigma(i)i} )$.
Donc $C=(-1)^n \displaystyle\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n } \varepsilon( \sigma) \displaystyle\prod_{i=1}^n  m_{\sigma(i)i}$.
Finalement $\boxed{C=(-1)^n \det M}$.

Terme de plus haut degré : 
Dans le produit, on ne prend que les termes en $x$.
Ce qui donne $\displaystyle\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n } \varepsilon( \sigma) \displaystyle\prod_{i=1}^n x \delta_{ \sigma(i) i} = x^n \displaystyle\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n } \varepsilon( \sigma) \displaystyle\prod_{i=1}^n \delta_{ \sigma(i) i} =x^n \det I_n=\boxed{x^n}$.
Seule la permutation $\sigma =id$ donne un produit non nul. 

Terme de degré $n-1$ : notons-le $a_{n-1}$.
Dans le produit, tu prends un terme constant, et $n-1$ termes qui contiennent du $x$. 
Le terme de degré $n-1$ du produit est : $- \displaystyle\sum_{p=1}^n m_{ \sigma(p)p}$.
Donc $\boxed{a_{n-1}= -\displaystyle\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n } \varepsilon( \sigma) \displaystyle\sum_{p=1}^n m_{\sigma(p)p}}$.

@Soc
On peut simplifier encore le terme de degré $n-1$ ? 

Soc

Oui. Si tu prends n-1 termes en x, tu n'as plus vraiment le choix pour le dernier.

OShine

La question $c$ semble plus dure, je ne vois pas perso mis à part examiner $f(1/k)$. 

Soc

Le "en déduire" est un peu trompeur car c'est de la question 1 qu'il faut "en déduire". Préciser qui est le corps en question ne serait pas de trop non plus pour être plus rigoureux.

Tu as donc un polynôme (disons sur R) avec n racines dont tu ne veux pas qu'il s'annule, où peux-tu donc te placer?

L'idée est de montrer qu'au final il suffit de perturber un tout petit peu une matrice quelconque pour qu'elle soit inversible.

OShine

Le résultat sur le nombre de racines qui ne dépasse pas le degré est valable sur un corps quelconque non ? 
Si $P$ est de degré $n$ il admet au plus $n$ racines, $x_1, \cdots, x_n \in \R$ que l'on peut ordonner $x_1 \leq \cdots \leq x_n$.
On se place sur $]-\infty,x_1[$ ou sur $]x_n,+\infty[$ on a alors $f(x) \ne 0$. 

Mais sur un corps quelconque, comment comparer des racines ? Par exemple, sur $\C$, on ne peut pas comparer $i$ et $i+2$.

raoul.S

Pas besoin de comparer, il faut juste dire que $\mathbb{K}$ est un corps de caractéristique 0 (oubli dans l'énoncé ?). Suppose qu'un tel $N$ n'existe pas etc.

OShine

Par l'absurde, si $\forall N  \in \N^{*} \exists k \geq N $ tel que $M-\dfrac{1}{k} I_n \not\in GL_n( \mathbf{K})$.
$\forall N  \in \N^{*} \exists k \geq N $ tel que $(1)^n f(\dfrac{1}{k}) =0$
$\boxed{\forall N  \in \N^{*} \exists k \ \geq N \  f(\dfrac{1}{k}) =0}$

Donc $f$ possède une infinité de racine, ce qui est absurde car $\deg \ f=n$ d'après la question $a$.

@raoul.S
Je ne m'y connais pas trop en caractéristique, je sais juste la définition, mais dans le Liret page 107 j'ai :
Soit $A$ un anneau intègre et $P \in A[X]$ un polynôme non nul. Le nombres de racines de $P$ est au plus égal au degré de $P$.

Soc

Pour donner du sens à la question 3, c'est mieux dans R.

De toute façon, dans Z/2Z la matrice (01)(01) ne sera pas rendue inversible si on lui ajoute l'identité.

math65

Bonsoir
J'ai compris pour le terme constant qui est en fait $f(0)$.
Pour le terme de degré $n-1$, je trouve qu'il s'agit de la somme de tous les $m_{ij}$ sauf ceux de la diagonale.
Est-ce bon ?
Merci.

JLapin

Non, c'est plutôt le contraire...

En fait, ton terme de degré $n-1$ est exactement celui de $(x-m_{1,1})...(x-m_{n,n})$ car les autres termes sont de degré au plus $n-2$.

OShine

Quand on a un polynôme de la forme : $P(X)=(X-a_1) (X-a_2) \cdots (X-a_n)$.

Le terme de degré $n-1$ s'obtient en choisissant $n-1$ termes $X$ et un terme constant $-a_i$ pour $i \in [|1,n|]$, il y a $n$ possibilités.
Ce qui donne comme coefficient devant $X^{n-1}$ le terme : $-a_1 -a_2 - \cdots -a_n = -\displaystyle\sum_{p=1}^n a_p$.

OShine

math65 a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2430267/#Comment_2430267

[Inutile de recopier l’antépénultième message. Un lien suffit. AD]

C'est faux. J'ai donné la solution plus haut pour le terme de degré $n-1$. Les termes de la diagonale apparaissent bien pour $\sigma=id$.
Il faut t'habituer à travailler avec les sommes indicées sur les permutation du groupe symétrique.
Prends pour exemple $\mathfrak{S}_2 = \{ id \ , (1 \ 2) \}$.

math65

Je vois un peu mon erreur, je pensais que $m_{21}(x-m_{22})(x-m_{33})...(x-m_{nn})$ est un terme de l'expression de $f(x) $ mais il n'existe pas de permutation donnant cela.
Dès que l'on a une permutation qui n'est pas $id$ alors deux éléments de diagonale minimum disparaissent des produits.

math65

Donc le terme de degré $n-1$ est $-\sum_{i=1}^n m_{ii} $

Soc

Oui, autrement dit, -trace(M).

math65

OK
Pour la question c)
$f$ possède au plus $n$ racines. Soit $x_0$ la plus petite de ses racines positives non nulles si elle existe.
Puisque $\lim_{n \rightarrow +\infty} 1/n =0$, il existe $N \in  \mathbb {N}* $ tel que pour tout $k >N$ , $1/k<x_0$ et donc $f(1/k) \ne 0$.

Soc

Oui. Il n'est pas écrit quelque part que K représente R ou C? C'est à peu près sous entendu quand ils parlent d'entier naturel, mais c'est mieux en le disant!

OShine

Soc a dit :

Oui, autrement dit, -trace(M).

Et la somme sur les permutations il ne faut pas l'oublier....

math65

Ce n'est pas précisé si il s'agit de $\R$ ou $\C$.

Dans $\C$, il faudrait travailler avec la partie réelle ?

Math Coss

Pour que $1/k$ ait un sens pour tout $k$ (à partir d'un certain rang) il faut supposer que la caractéristique est nulle.
Cela suffit : quel que soit le corps de base, un polynôme n'a qu'un nombre fini de racines (et les $1/k$, tous distincts, sont en nombre infini).
Sur $\R$ ou $\C$; si on met une topologie raisonnable (venant d'une norme), on obtient une suite de matrices inversibles qui converge vers la matrice de départ, ce qui prouve... qu'est-ce que cela prouve au fait ?

raoul.S

Dans le cas plus général de la caractéristique nulle, OShine l'a déjà montré ICI (preuve par l'absurde).

math65

Qu'est ce que l'on entend par caractéristique? est-ce nécessaire à cet exercice?

JLapin

Non. Simplement, en algèbre linéaire, il est d'usage de préciser le corps de base sur lequel on travaille. Souvent cette précision est faite au tout début de la feuille d'exercices, voire au tout début du chapitre...

Soc

@raoul.S Je suis sceptique d'une preuve dont il me semble avoir donné un contre-exemple.

@math65 De façon simpliste, la caractéristique d'un corps est le nombre de fois où il faut ajouter 1 à lui-même pour tomber sur 0. Dans le cas où cela n'arrive jamais on parle de caractéristique nulle et l'on a alors une injection de Z dans le corps en question.

raoul.S

@Soc je disais simplement qu'en caractéristique nulle la c) est vraie. Ton contre-exemple ICI est en caractéristique 2...

Soc

Autant pour moi! La caractéristique n'était pas précisée dans la preuve, mais dans ton message précédent

raoul.S

Oui car OShine ne s'y connaît pas trop en caractéristique, donc lorsqu'il passera son oral le jury saura que par défaut c'est en caractéristique 0 qu'on se place...

OShine a dit :

@raoul.S
Je ne m'y connais pas trop en caractéristique...