Déterminants
Bonsoir
Je tente maintenant de résoudre
Je tente maintenant de résoudre
Pour la première question je démontre par récurrence. Pour la partie hérédité, je tombe sur
$\det (xI_{n+1}-M)=(x-a_{11}) \det(xI_n-(a_{ij})_{i\ne 1 j \ne 1}) +\sum_{j=2}^{n} (-1)^{1+j}a_{1j} \Delta_{1j}$
Je me demande si il y a une manière simple de donner le degré de $ \Delta_{1j}$.
Merci.
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Réponses
Merci.
Mais la réciproque est vraie également, pour avoir un terme de degré n, il faut que tous les facteurs soient pris sur la diagonale. C'est donc le seul terme de degré n et il ne peut donc pas s'annuler avec les autres.
Le terme constant est très simple à identifier.
Le cas $n=2$ peut être intéressant, car alors $\mathfrak S_2= \{ id , (1 \ 2) \}$.
Le terme de degré $n-1$ est plus délicat, il faut utiliser les relations coefficients racines.
$\deg \ f(x) \leq \max_{\sigma \in \mathfrak{S}_n } \deg \Big( \varepsilon(\sigma) \displaystyle\prod_{i=1}^n ( x \delta_{\sigma(i)i}-m_{\sigma(i)i} ) \Big)$.
Or $\deg \Big( \varepsilon(\sigma) \displaystyle\prod_{i=1}^n ( x \delta_{\sigma(i)i}-m_{\sigma(i)i} ) \Big) =\sum_{i=1}^n \deg ( x \delta_{\sigma(i)i}-m_{\sigma(i)i} ) =\sum_{i=1}^n 1=n$.
Donc $\deg f(x) \leq \max_{\sigma \in \mathfrak{S}_n } n = n$.
On a montré $\boxed{\deg f(x) \leq n}$.
Le terme de degré $n$ est celui obtenu en développant le seul terme de degré $n$ qui est $(x-m_{11})(x-m_{22})...(x-m_{nn})$.
Il est logique que ce terme soit $x^n$.
Pour le terme constant et celui de degré $n-1$, je ne vois pas trop.
Merci.
Ce genre de raisonnement revient très fréquemment.
Terme constant : notons-le $C$.
Dans le produit, on ne prend aucun $x$ lorsqu'on développe, ce qui donne $C=\displaystyle\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n } \varepsilon( \sigma) \displaystyle\prod_{i=1}^n (- m_{\sigma(i)i} )$.
Donc $C=(-1)^n \displaystyle\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n } \varepsilon( \sigma) \displaystyle\prod_{i=1}^n m_{\sigma(i)i}$.
Finalement $\boxed{C=(-1)^n \det M}$.
Terme de plus haut degré :
Dans le produit, on ne prend que les termes en $x$.
Ce qui donne $\displaystyle\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n } \varepsilon( \sigma) \displaystyle\prod_{i=1}^n x \delta_{ \sigma(i) i} = x^n \displaystyle\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n } \varepsilon( \sigma) \displaystyle\prod_{i=1}^n \delta_{ \sigma(i) i} =x^n \det I_n=\boxed{x^n}$.
Seule la permutation $\sigma =id$ donne un produit non nul.
Terme de degré $n-1$ : notons-le $a_{n-1}$.
Dans le produit, tu prends un terme constant, et $n-1$ termes qui contiennent du $x$.
Le terme de degré $n-1$ du produit est : $- \displaystyle\sum_{p=1}^n m_{ \sigma(p)p}$.
Donc $\boxed{a_{n-1}= -\displaystyle\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n } \varepsilon( \sigma) \displaystyle\sum_{p=1}^n m_{\sigma(p)p}}$.
@Soc
On peut simplifier encore le terme de degré $n-1$ ?
Si $P$ est de degré $n$ il admet au plus $n$ racines, $x_1, \cdots, x_n \in \R$ que l'on peut ordonner $x_1 \leq \cdots \leq x_n$.
On se place sur $]-\infty,x_1[$ ou sur $]x_n,+\infty[$ on a alors $f(x) \ne 0$.
Mais sur un corps quelconque, comment comparer des racines ? Par exemple, sur $\C$, on ne peut pas comparer $i$ et $i+2$.
$\forall N \in \N^{*} \exists k \geq N $ tel que $(1)^n f(\dfrac{1}{k}) =0$
$\boxed{\forall N \in \N^{*} \exists k \ \geq N \ f(\dfrac{1}{k}) =0}$
Je ne m'y connais pas trop en caractéristique, je sais juste la définition, mais dans le Liret page 107 j'ai :
Soit $A$ un anneau intègre et $P \in A[X]$ un polynôme non nul. Le nombres de racines de $P$ est au plus égal au degré de $P$.
J'ai compris pour le terme constant qui est en fait $f(0)$.
Pour le terme de degré $n-1$, je trouve qu'il s'agit de la somme de tous les $m_{ij}$ sauf ceux de la diagonale.
Est-ce bon ?
Merci.
Le terme de degré $n-1$ s'obtient en choisissant $n-1$ termes $X$ et un terme constant $-a_i$ pour $i \in [|1,n|]$, il y a $n$ possibilités.
Ce qui donne comme coefficient devant $X^{n-1}$ le terme : $-a_1 -a_2 - \cdots -a_n = -\displaystyle\sum_{p=1}^n a_p$.
Il faut t'habituer à travailler avec les sommes indicées sur les permutation du groupe symétrique.
Prends pour exemple $\mathfrak{S}_2 = \{ id \ , (1 \ 2) \}$.
Dès que l'on a une permutation qui n'est pas $id$ alors deux éléments de diagonale minimum disparaissent des produits.
Pour la question c)
$f$ possède au plus $n$ racines. Soit $x_0$ la plus petite de ses racines positives non nulles si elle existe.
Puisque $\lim_{n \rightarrow +\infty} 1/n =0$, il existe $N \in \mathbb {N}* $ tel que pour tout $k >N$ , $1/k<x_0$ et donc $f(1/k) \ne 0$.
Cela suffit : quel que soit le corps de base, un polynôme n'a qu'un nombre fini de racines (et les $1/k$, tous distincts, sont en nombre infini).
Sur $\R$ ou $\C$; si on met une topologie raisonnable (venant d'une norme), on obtient une suite de matrices inversibles qui converge vers la matrice de départ, ce qui prouve... qu'est-ce que cela prouve au fait ?