Intégrale d'un produit P * f dont la fonction s'annule (n+1) fois

jc-marseille

Il s'agit de l'exercice : https://les-mathematiques.net/serveur_exos/exercices/127/1886/

J'avoue j'en ai bavé...

En fin de solution, je ne comprends pas pourquoi un choix d'un tel polynôme et pourquoi l'auteur considère une fonction "f" de même signe que P(t) sur chaque intervalle, [alpha_i, alpha_(i+1)] pour i dans ||1 n|| et de conclure que f s'annule donc (n+1) fois car "f" ne peut pas etre de même signe que P(t) sur [alpha_0, alpha_1] sinon P(t) * f(t) est positive sur [a,b] ce qui contredit l'hypothese.

Par ailleurs, il n'y a aucune indication sur la nature de la fonction "f". e.g., Si f s'annule n+1 fois, ne devrait-on pas définir "f" comme étant une fonction de degré = n+1 ?

J'aurais imaginé que le choix d'un polynôme comme étant une famille libre de monômes serait plus adéquat. Par exemple un

P(t) = Sigma (alpha_k * t^k), pour k allant de 0 a` n. Ainsi selon l'hypothèse chaque terme de la somme étant nul, et comme il y a (n+1) termes, f s'annule (n+1) fois.

JLapin

Essaye déjà d'écrire une solution complète pour le cas $n=1$ puis le cas $n=2$ en t'aidant du corrigé.

bisam

Tu as mal compris la preuve.

On fait l'hypothèse que $f$ ne possède qu'un nombre de zéros inférieur à $n$, et a fortiori un nombre de changements de signe encore plus faible, à cause du TVI, et on fabrique un polynôme $P$ qui change de signe en ces mêmes points de sorte que $Pf$ soit de signe constant.

En revanche, la fin de la preuve est à revoir car la justification "ni $f$ ni $P$ ne sont nuls" n'est pas suffisante pour conclure !