Bonjour pour tout le monde, une petite question quant à cette proposition, est-ce que c'est obligatoire d'ajouter que I est fermé ? Et pourquoi ? Merci pour votre aide.
De plus, comme l'hypothèse $\ell\in I$ figure dans les hypothèses, il n'est pas nécessaire de supposer que $I$ est fermé.
Comme la limite d'une suite convergente à valeurs dans un [intervalle] fermé appartient à ce[t intervalle] fermé, on pourrait remplacer l'hypothèse « $\ell\in I$ » par « $I$ est fermé ». L'hypothèse de la proposition est plus générale mais on peut retenir pour les exercices que si $I$ est un segment et $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors ($\ell\in I$ et) $f(\ell)=\ell$.
En pratique, il est souvent donné une suite dont les termes
appartiennent à un intervalle ouvert $]a, b[$ ($\forall n, a < u_n
< b$). Afin de satisfaire la condition $\ell \in I$, il est
nécessaire de passer à la limite et de fermer l'intervalle, c'est-à-dire appliquer le théorème à l'intervalle fermé $[a, b]$.
Tout le monde sait que c'est correct, même @Mar0wwa.
@Mar0wwa trouve des difficultés concernant son application dans des exercices.
Je crois qu'elle cherche un exemple d'exercice pratique où on peut utiliser ce théorème sur un intervalle ouvert de la forme $I=]a;b[$, si c'est possible.
Exercice. On
considère la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ définie par : $u_0 =
-\frac{5}{4}$ et $u_{n+1} = (u_n + 2)^2 - 2$, pour tout $n \in \mathbb{N}$. 1- Montrer
par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $-2 < u_n < -1$. 2- Montrer
que la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ est décroissante. En déduire qu'elle est
convergente. 3- Calculer
$\lim u_n$.
Pour répondre à la dernière question, en utilisant la proposition, on est obligé d'utiliser soit l'intervalle fermé $[-2,-1]$, soit un autre intervalle bien choisi le contenant, mais pas l'intervalle ouvert $]-2,-1[$.
@Mar0wwa trouve des difficultés concernant son application dans des exercices.
Je crois [...]
Puisqu'on émet des hypothèses sur le sens profond de la question initiale, voici ma proposition.
Jje pense que Mar0wwa a sous les yeux deux théorèmes. Celui qui nous a été communiqué et un autre, dans un autre ouvrage ou dans son cours manuscrit, qui parle d'intervalle fermé.
Comme les énoncés ne sont pas identiques, il n'a plus les idées très claires et vient donc poser cette question un peu mystérieuse.
Pour répondre à la question 3 de l'exercice de @L2M, on peut très bien se contenter des questions précédentes : la suite $u$ est décroissante et minorée par $-2$ donc elle converge et sa limite $\ell$ est supérieure ou égale à -2. Si $\ell$ était différent de $-2$, ce serait un point fixe de $f:x\mapsto (x+2)^2-2$ situé dans $\left]-2,u_0\right]$, ce qui n'existe pas. Par conséquent $\ell=-2$.
Réponses
Cordialement.
L'énoncé que tu nous envoies est correct.
Exercice.
On considère la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ définie par :
$u_0 = -\frac{5}{4}$ et $u_{n+1} = (u_n + 2)^2 - 2$, pour tout $n \in \mathbb{N}$.
1- Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $-2 < u_n < -1$.
2- Montrer que la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ est décroissante. En déduire qu'elle est convergente.
3- Calculer $\lim u_n$.
Pour répondre à la dernière question, en utilisant la proposition, on est obligé d'utiliser soit l'intervalle fermé $[-2,-1]$, soit un autre intervalle bien choisi le contenant, mais pas l'intervalle ouvert $]-2,-1[$.