Exercice suites/fonctions

Ousskaram

Salut , notre prof nous a demandé de faire cet exercice, d'ailleurs, j'ai réussi à résoudre tout l'exercice sauf la dernière question, des idées svp !
 L'exo: Soit la fonction f(x)=√sin(x)+cos(x)
1) déterminer le domaine de définition Df
2) Variations.
3) soit la suite
Un={ f(n) si n appartient à Df
           0  sinon.
 a) Un bornée ?
 b) est-ce que Un est convergente ? Justifier.

Ousskaram

Merci pour vos aides 

gerard0

Bonsoir.
Difficile d'être sûr de ta fonction. Serait-ce $f(x)=\sqrt{\sin(x)}+\cos(x)$ ?

Et qu'as-tu fait aux deux premières questions et à la 3,a) ?

Une représentation de la fonction devrait donner de bonnes idées.
Cordialement.

Ousskaram

gerard0

Non la racine est sûr toute la quantité (cos(x)+sin(x)).

[Inutile de recopier le dernier message. AD]

Ousskaram

Voilà ce que j'ai trouvé en chaque question ، désolée je n'ai pas pu écrire ces symboles sur mon clavier.

Pour La dernière question aucune idée pour elle .

Ousskaram

J'ai pensé à utiliser le fait que f [est] divergente, et déduire que f(n) diverge aussi, mais on n'a pas une seule expression de Un, c'est-à-dire que Un est définie par morceaux, donc comment faire ?

gerard0

Bonjour.
"Non la racine est sûr toute la quantité (cos(x)+sin(x))." Alors tu aurais pu écrire la bonne expression !!

Pour montrer la divergence de la suite, il suffit de trouver deux sous-suites qui ne peuvent pas avoir la même limite. Chaque intervalle $[-3\frac{\pi}4, \frac{\pi}2]$ contient plusieurs entiers. Rédiger une preuve complétement justifiée demande d'utiliser correctement les propriétés des fonctions circulaires, éventuellement le fait que les $\sin(n)$ sont denses dans $[-1,1]$, mais l'idée est là.

À noter : $\sin x+\cos x = \sqrt{2} \sin(x+\frac{\pi}4)$

Cordialement.

Ousskaram

Cependant, j'ai essayé d'appliquer ce que vous avez dit, trouver deux suites qui ne convergent pas vers [la] même limite, j'ai pensé à travailler sur U2n et U2n+1, mais aucune passerelle pour étudier la convergence.
J'ai essayé d'une autre façon, d'étudier le comportement de cette suite sur [-3pi/4, pi/2], mais on aura un nombre fini de termes car on a un nombre fini d'indices.

Ousskaram

Que veux-tu dire par : une fonction dense sur un intervalle ?

gerard0

Il faudrait être un peu sérieux. Manifestement, tu n'as pas regardé comment est la fonction, par exemple fait tracer la courbe de f sur un intervalle suffisant pour voir comment ça se passe. Ni essayé de faire calculer les 20 premières valeurs de la suite ...

Voilà par exemple les 21 premières valeurs, pour n de 0 à 20 : 

1., 1.175488533, 0.7022468158, 0, 0, 0, 0.8250786559, 1.187808424, 0.9186175552, 0, 0, 0, 0.5543293612, 1.152221254, 1.061764839, 0, 0, 0, 0, 1.067043499, 1.149359523

C'est assez chaotique, mais on peut facilement en extraire deux sous-suites qui montreront qu'il y a divergence.

Je n'ai pas parlé de "une fonction dense sur un intervalle". Tu as mal lu, c'est un n (pour "nombre entier"). Si ça te dépasse, laisse tomber, et attaque le problème à la main, en utilisant le fait que régulièrement, f(n) est nul. et qu'il se passe autre chose ailleurs.

Ousskaram

Ah d'accord, je vais essayer.

Ousskaram

Merci infiniment 

Ousskaram

J'ai essayé d'en sortir deux suites extraites mais au vain, j'ai cru à U3n, à U4n, mais je ne suis pas pu arrivé au résultat.

[Utilisateur supprimé]

Alors  je n'ai pas cherché en détail (d'ailleurs j'ai horreur des problèmes d'intervalles et de partie entière)

Mais moi je regarderais des sous-suites du type
$Ent(\frac{3\pi}{4}+2k\pi)+2$ pour une sous-suite constamment égale à $0$ et $Ent(\frac{-\pi}{12}+2k\pi)+2$

pour une sous-suite strictement supérieure à $0,5$

Il faut vérifier et ajuster le terme de translation et le point de départ si je l'ai mal choisi (ce qui est fort probable).