Binôme de Newton tronqué

darwinevolution

Bonjour,
Quelle est l'astuce, si elle existe (et j'ai bien peur que ça ne soit pas possible), pour calculer explicitement un binôme de Newton tronqué ?

$\sum_{k=0}^{n_{max}} \dfrac{n!}{k! (n-k)!} p^k (1-p) ^{n-k}$ avec $n_{max} < n$

Merci d'avance

Rq1 : Je cherche à calculer (explicitement) une espérance dans le cas d'un surbooking.

Rq2 : Si jamais je ne suis pas dans la bonne catégorie merci aux administrateurs de basculer mon message dans une catégorie plus adaptée.

Positif

Tu as raison, cela n'est pas possible. Les seules "astuces" qu'on a c'est quand $n_{\mathrm{max}}$ vaut $n-1$, $n-2$, $n-3$ pour lesquels la somme est explicite mais sinon c'est impossible. 

Math Coss

Pour le cas général il y a des ordinateurs et des logiciels, des tables, des approximations (par exemple par une loi de Poisson).

darwinevolution

Positif a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2429625/#Comment_2429625

[Inutile de recopier l’avant dernier message. AD]

Merci pour cette confirmation, effectivement j'avais les astuces quand l'écart entre $n$ et $n_{\max}$ est connu et effectivement je pressentais que ça n'allait pas être simple car si un tel calcul était faisable alors on connaitrait par exemple la formule explicite de la fonction de répartition pour la loi binomiale... Bon je suis un peu déçu que ça finisse par du numérique sur une feuille de tableur

darwinevolution

Math Coss a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2429626/#Comment_2429626

[Inutile de recopier l’avant dernier message. AD]

Ah oui je peux peut-être me consoler avec une approximation... Je vais regarder cela merci !

Area 51

En approximations, il y a certainement des choses quand $n_{\text{max}}$ est petit, proche de la moitié de $n$, ou quand $n$ est grand. Voire encore de remplacer ta loi discrète par une loi continue.

noix de totos

Il existe aussi des majorations / minorations.

Voir cet article https://zbmath.org/1284.05014 qui est apparemment souvent consulté, m'a-t-on dit.