Théories contradictoires...

Gabenzz

Bonjour à tous
Je me suis mis dans le livre "Algèbre et géométrie pour la licence" de Marie-Cécile Darracq et Jean-Étienne Rombaldi.

J'en suis au premier chapitre et jusqu'à l'exercice 1.4. tout allait bien.

Selon la théorie des ensembles, si une théorie est non contradictoire alors P conjonction non P sera toujours faux.

Dans l'exercice on se place dans le cas où P est une théorie contradictoire,
D'après ma compréhension donc,
P conjonction non P sera toujours vraie et pour cela P doit être toujours vraie et non P aussi.
Voici l'exercice.

Au premier abord, je n'ai pas compris la solution en la lisant plusieurs fois.
En revenant dessus et en refaisant la table de vérité de la solution, j'ai bien compris que dans le cas de cette table de vérité (P est une théorie non-contradictoire car P conjonction non P est toujours faux), non P implique (P implique Q) est une tautologie car toujours vraie.

Sauf que là pour moi, on a rien prouvé du tout pour le cas où P est une théorie contradictoire, puisque dans cette table de vérité elle est non-contradictoire.

J'ai bien compris la dernière phrase de la solution qui dit que l'on se place dans le cas où non P est vraie (théorie contradictoire) et R est une tautologie où Q prend la valeur vraie ou faux mais P implique Q est vraie. Sauf que dans ce cas P est fausse, alors qu'elle devrait être vraie car non P est vraie (théorie contradictoire).

Je peux par exemple faire cette table de vérité

Où P est contradictoire et Q non contradictoire qui pour moi respecte bien les conditions de l'exercice sans pour autant valider sa solution.
Je ne remets pas en doute la correction, simplement je pense qu'il y a quelque chose que je ne comprends pas.
Sauriez-vous reformuler la correction ou m'apporter le(s) détail(s) de compréhension qui va(vont) bien ?

Je peux aussi scanner le cours et le poster si besoin (et si c'est autorisé sur le forum).
Gabenzz

Thierry Poma

Bonjour

Veux-tu vérifier que $\left(\overline{P}\rightarrow(P\rightarrow{}Q)\right)\leftrightarrow\left(\left(P\wedge\overline{P}\right)\rightarrow{}Q\right)$ ?

Foys

Quelle horreur cet extrait de livre... Il confond sémantique et syntaxe et raconte n'importe quoi.

@Gabenzz je te conseille d'arrêter tout de suite la lecture du chapitre de logique de ce livre et de lire à la place des textes écrits par des logiciens comme Logique mathématique de Lascar et Cori, ou Introduction à la logique: théorie de la démonstration par David, Nour et Raffalli.

La plupart des cours d'introduction à la logique faits par des non-logiciens (mais mathématiciens compétents dans leur domaine) contiennent des erreurs et des contresens.

Extrait:
On dit qu'une théorie est contradictoire si $P \wedge \overline P$ est faux pour toute proposition $P$.

L'algorithme qui calcule la valeur de vérité de $P \wedge \overline P$ renvoie faux dans tous les cas!!! Est-ce qu'aucune théorie n'est contradictoire? Non, et en fait la notion de théorie contradictoire est syntaxique et non pas sémantique (elle ne fait pas intervenir les valeurs de vérité: un ensemble d'énoncés $P_1,...,P_n$ est contradictoire si on peut construire une démonstration d'un énoncé de la forme $Q \wedge \neg Q$ dont les axiomes sont pris dans $P_1,...,P_n$. La notion de démonstration est entièrement syntaxique et ne fait jamais référence aux valeurs de vérité possibles d'une formule. Le mathématicien ordinaire démontre tous les jours et ne calcule jamais de tables de vérité à d'autres occasions que lorsqu'il rédige des mauvais cours de logique).

Si on insiste pour s'exprimer en tables de vérités et rester dans le cadre de la logique propositionnelle (qui n'est de toutes façons pas celui des mathématiques qui requièrent un langage plus riche car avec quantificateurs) alors on peut reformuler la notion comme suit:

un ensemble $\mathcal X$ d'énoncés (c'est ça une théorie ) est contradictoire s'il existe dans $X$ des énoncés $P_1,P_2,...,P_n$ tels que $\neg (P_1 \wedge P_2 \wedge ... P_n)$ est une tautologie (i.e. vaut "vrai" dans la table de vérité pour toutes les valeurs de vérités attribuées aux variables propositionnelles). Lorsque $A$, $B$ sont des formules et $\neg A$ est une tautologie (i.e. $A$ est fausse dans la table de vérité quelle que soient les valeurs attribuées aux variables) alors $A\Rightarrow B$ est également une tautologie peu importe qui est $B$. En particulier, de $P_1,...,P_n$ (et à plus forte raison $\mathcal X$) on peut alors déduire tout ce qu'on veut.

D'autre part les raisonnements proposés plus loin dans le texte ne sont pas des raisonnements par l'absurde mais par contraposition ($\sqrt 2$ est irrationnel etc). C'est un marronnier du forum d'ailleurs.

Thierry Poma

@Foys : bonjour. Au vu de ce que j'ai pu lire, il vaudrait mieux se focaliser sur le livre Introduction à la logique: théorie de la démonstration par David, Nour et Raffalli. Une nouvelle édition est, semble-t-il, en cours de préparation. Sinon, je suggère La Logique, pas à pas de Jacques Duparc. C'est déjà pas mal.

Gabenzz

Merci à vous pour vos réponses.

@Thierry Poma, là sans trop réfléchir je ne comprends pas ta première question mais je vais essayer de comprendre en prenant le temps (demain matin).

@Foys je trouve que c'est très beau ce tu écris, c'est une belle tirade, j'adore lire un argumentaire ou l'on rend littéraire les mathématiques.
Sauf que je n'en ai pas compris 20 % non plus !
J'ai un diplôme d'ingé et aucun diplôme en mathématiques, je m'y remet par intérêt.
Certes, j'imagine qu'à un certain niveau on ne fait plus de table de vérité mais moi je trouve que c'est bien pour commencer.
Merci pour ta définition d'une théorie, c'est vraiment intéressant de faire abstraction et de prendre de la hauteur pour faire de la logique entre ensembles d'énoncés, d'assertions.

Je vais donc me pencher sur les ouvrages que vous m'avez proposés, qui sont peut-être plus spécialisés et pointus en logique.
Mon bouquin regroupe des notions nécessaires à passer la licence de mathématiques, peut-être qu'il est approximatif ou inexact par moment, mais il a le mérite de tout regrouper.
Et ainsi, je pourrais faire des comparaisons, mettre en parallèle (une des choses que je trouve le plus intéressant).

Gabenzz

Et un grand merci au modérateur qui trouve toujours une faute et qui a corrigé mon titre pour qu'il soit correct 

JLapin

Gabenzz a dit :

Dans l'exercice on se place dans le cas où P est une théorie contradictoire,

[...]

 (P est une théorie non-contradictoire car P conjonction non P est toujours faux), non P implique (P implique Q) est une tautologie car toujours vraie.

Sauf que là pour moi, on a rien prouvé du tout pour le cas où P est une théorie contradictoire, puisque dans cette table de vérité elle est non-contradictoire.

J'ai bien compris la dernière phrase de la solution qui dit que l'on se place dans le cas où non P est vraie (théorie contradictoire)

Tu ne cesses de répéter que $P$ est une théorie, contradictoire ou non, alors que l'énoncé dit que $P$ est une proposition.

Si tu reprends attentivement l'énoncé et sa correction, tu devrais y trouver ton compte.

Au passage, la première phrase de l'énoncé n'est pas utile à la compréhension et à la résolution de l'exercice.

Gabenzz

@JLapin, effectivement l'énoncé dit bien que P est une propriété contradictoire dans une théorie, j'ai fais une erreur.

Je ne voyais pas l'exercice comme il faut, car il n'est pas précisé dans l'énoncé de l'exercice si P et Q font partie de la même théorie.
En le relisant avec ta remarque, il semble que cela soit implicite, P et Q font partie de la même théorie.
Mais alors, comment prouver que dans une théorie, si une propriété P est contradictoire, alors une propriété Q de cette même théorie est aussi contradictoire ? Est-ce une implication naturelle ?
Je ne pense pas car P implique Q n'est pas toujours vrai (c'est écrit dans la solution, table de vérité)
De plus, la première phrase de l'exercice est selon moi essentielle, c'est d'ailleurs une propriété essentielle du cours :

De plus, tout l'énoncé de l'exercice implique cette propriété car on se place dans le cas où P est contradictoire.
En relisant, je ne comprend pas la dernière phrase de l'exercice, qui conclue que parce que R est tjr vraie et non P vraie dans la moitié des cas, alors P implique Q sera toujours vrai.
De manière simple je ne vois pas pourquoi, dans une théorie, si une propriété P est contradictoire alors une autre propriété Q serait aussi forcément contradictoire.
Je sais que j'insiste mais en voici la preuve, cette table de vérité satisfait les conditions de l'exercice :

Par contre, si on dit que P conjonction non P $\ est toujours vraie et que P implique Q est toujours vraie aussi, alors oui dans ce cas là, Q conjonction non Q sera aussi toujours vraie :

Si j'ai bien bien compris le cours c'est une tautologie et c'est la condition nécessaire pour que la solution soit correcte.

@t@"Thierry Poma"

En réfléchissant un peu, effectivement si l'assertion, $(P\wedge \overline{P})\to Q$ est toujours vraie alors P implique Q sera toujours vraie aussi.
Et ainsi, si P est contradictoire alors Q aussi.
Sauf que ce n'est pas le cas avec les conditions de l'exercice. L'assertion,

Est effectivement vraie, ça doit se prouver littéralement, moi je le fais avec une table de vérité qui respecte la condition de l'exercice (P conjonction non P toujours vraie),

L'équivalence entre ces deux assertions est vraie mais $(P\wedge \overline{P})\to Q$ n'est pas toujours vraie !
Donc on a toujours pas prouvé que P implique Q est toujours vraie et ainsi que parce que P est contradictoire alors Q est contradictoire.

Encore une fois, je peux me tromper, faire des erreurs monstrueuses et omettre un détail de compréhension essentiel mais je pense laisser l'exercice et passer à la suite. 
En conclusion, il manque l'information P implique Q est toujours vraie à cet exercice.

(Désolé au modérateur, mais je ne sais comment réduire la taille de mon image, celle ci s'est insérée en gros)

[Quand tu es en mode modification, tu cliques sur l'image et apparaissent des poignées au quatre coins. Tu sélectionne l'une et tu la dragues. :)AD]

[Par ailleurs pour introduire du $\LaTeX$, tu encadre l'expression mathématique par des $\$$. AD]
Alors quand je clique sur l'image, elle se sélectionne :

Quand je reclique dessus, elle reste sélectionnée, je n'ai pas de poignées qui apparaissent aux quatre coins.
Par ailleurs, je sais pas pourquoi mais j'ai des problèmes de mise en page.
Par exemple quand je sélectionne l'image et que je veux la centrer, le texte du haut et/ou du bas se centre aussi sans pour autant que l'ai sélectionné. 
WTF ?

Pour le $\LaTeX$, bah je viens d'aller voir, bah va falloir que j'apprenne.

Bibix

Foys a tout dit. Une théorie est contradictoire si on peut démontrer tous les énoncés formalisés dans celle-ci. C'est équivalent au fait qu'il existe $P$ tel que l'on peut démontrer $P \wedge \overline{P}$ car $P \wedge \overline{P} \to Q$ pour tout $Q$. La propriété $P \wedge \overline{P} \to Q$ est une tautologie car c'est vrai quelque soient les propositions logiques $P$ et $Q$ ($P \wedge \overline{P}$ est TOUJOURS faux par définition). Ainsi, si on peut démontrer $P \wedge \overline{P}$, alors on peut démontrer $Q$ quelque soit $Q$. Si tu ne comprends pas cela, alors tu devrais te demander ce qu'est vraiment une démonstration.

gerard0

Gabenz, ta table de vérité avec $P$ et $\bar P$ vrais tous les deux est assez bizarre, puisqu'ils sont aussi faux tous les deux.

C'est le problème de cette notion de vérité, qui n'a pas de sens si une propriété est à la fois vraie et fausse.

D'ailleurs, tu as sûrement déjà fait des maths. La propriété "$x=3$" est elle vraie, ou fausse ? En général, on s'en moque, elle sera vraie si $x=3$ et fausse si $x$ ne vaut pas $3$, mais en général, ce n'est pas la bonne question. Dans $x^2=9 \Rightarrow (x=3 \text{ ou } x=-3)$, on se moque de savoir si $x =3$ est vrai.

Voilà pourquoi Foys te déconseillait ce genre de "présentation" de la logique.
Cordialement.

GaBuZoMeu

Bonjour,

Je trouve que l'énoncé a un sens si l'on accepte que "vrai dans une théorie T" signifie "vrai dans toute distribution de valeurs de vérité qui donne la valeur V aux axiomes de T", autrement dit "vrai dans tout modèle de T".

Une théorie contradictoire est une théorie qui n'a pas de modèle. Donc, dans une théorie contradictoire toute proposition est vraie (ainsi que sa négation).

samok

Monsieur GaBuZoMeu
Y a-t-il un modèle qui ne correspond à aucune théorie cohérente ?
Merci de votre attention.

Médiat_Suprème

Question qui n'a pas de sens, comme d'habitude, un modèle (en fait une L-structure) est, au moins, modèle de sa propre théorie élémentaire.

samok

Bonjour Monsieur Médiat_Suprème,
ce que vous me dites, c'est une définition, un axiome, un théorème, une propriété, une connerie ?
Big Bisous

Médiat_Suprème

C'est un ipsychangheim.

Martial

"C'est un ipsychangheim."

@Médiat : c'est quoi c'huistiole ?

Médiat_Suprème

Salut Martial, 
C'est un peu compliqué à expliquer en un post, mais cela doit se trouver dans tout bon bouquin de logique (pas élémentaire)

Gabenzz

Bonjour
Merci à tous pour vos réponses.
Malheureusement je n'arrive toujours pas à me convaincre de la solutions de cet exercice.

Bibix a dit :

"$P \wedge \overline{P}$ est TOUJOURS faux par définition"

Certes, la logique, la théorie des ensembles (d'après mon livre), veut que $P \wedge \overline{P}$ soit toujours faux.
Mais l'exercice impose le contraire, l'assertion $P \wedge \overline{P}$ vraie.
Par conséquent, en faisant les tables de vérité (que je qualifierai de méthodes de dénombrement de toutes les combinaisons possibles, qui est peut-être trop réductrice dans un tel cas, ce que semble indiquer Foys), je ne retrouve pas P implique Q.
Donc, je ne vois pas pourquoi si P est contradictoire alors Q le serait aussi.

J'ai pris l'habitude de poser des questions à ChatGPT, que je trouve pertinent (à mon niveau en tout cas en maths)

Il existerait donc un domaine d'étude en logique paraconsistante / paracohérante dans lequel on peut admettre de telles assertions contradictoires.
Par contre il n'existerait bel et bien aucune théorie mathématique concrète admettant une ou des théorie(s) contradictoires.
J'aime bien faire des analogies et j'ai rapidement pensé aux proverbes de la langue française qui peuvent être contradictoires deux à deux.
Je ne trouve pas forcément toutes les contradictions probantes sur cette page mais la voici : https://www.topito.com/top-proverbes-cons-contradictoires
Je suis sûr qu'on peut s'amuser un moment sur les contradictions de la langue Française, les théories contradictoires littéraires en somme.

Gabenzz

Cela fait un moment que j'avais en tête ces contradictions, sur ces proverbes de la langue française puisqu'on peut dire tout et son contraire.
Sur chacun d'entre eux on pourrait faire un développement de type "Thése, anti-thése, synthése", contradictoire donc.

Médiat_Suprème

Voir les travaux de Stéphane Lupasco

GaBuZoMeu

Donc, je ne vois pas pourquoi si P est contradictoire alors Q le serait aussi.

C'est pourtant bien simple : $$\begin{array}{cc|ccccc} P&Q&\neg P&\neg Q&P\wedge\neg P&Q\wedge\neg Q&(P\wedge\neg P)\to(Q\wedge \neg Q)\\\hline V&V&F&F&F&F&V\\ V&F&F&V&F&F&V\\ F&V&V&F&F&F&V\\ F&F&V&V&F&F&V\end{array}$$ce qui montre que $(P\wedge\neg P)\to(Q\wedge \neg Q)$ est bien une tautologie. Toute distribution de valeurs de vérité qui donne la valeur $V$ à $P\wedge\neg P$ donne la valeur $V$ à $Q\wedge\neg Q$, tout simplement parce qu'il n'y a aucune distribution de valeurs de vérité qui donne la valeur $V$ à $P\wedge\neg P$.

Gabenzz

D'accord, il est vrai que dans le cas ou P et Q sont non-contradictoires alors $$(P\wedge\neg P)\to(Q\wedge \neg Q)$$ est une tautologie.

Ca fonctionne aussi si on dit que P et Q sont contradictoires toutes les deux (première ligne de la table ci-dessous)
Mais pourquoi cela ne marche-t-il pas dans le cas ou P est contradictoire et Q ne l'est pas (deuxième ligne)
Et quand c'est P n'est pas contradictoire et Q l'est, alors $$(P\wedge\neg P)\to(Q\wedge \neg Q)$$ est vraie (troisième ligne)
\begin{array}{cc|ccccc} P&Q&\neg P&\neg Q&P\wedge\neg P&Q\wedge\neg Q&(P\wedge\neg P)\to(Q\wedge \neg Q)\\\hline V&V&V&V&V&V&V\\ V&F&V&V&V&F&F\\ F&V&V&V&F&V&V\end{array}
Pour la troisième ligne, je suppose que cela vient de l'implication qui est mal choisie, ne faudrait-il pas plutôt employer l'équivalence ? $$(P\wedge\neg P)\Leftrightarrow(Q\wedge \neg Q)$$

Math Coss

Pourquoi n'y a-t-il que trois lignes dans cette table de vérité ? Pourquoi la table entière est-elle si fausse ? Si $P$ est vraie (1re et 2e lignes) alors $\neg P$ est fausse, de sorte que $P\wedge\neg P$ est fausse. De même, si $Q$ est vraie (1re et 3e lignes), alors $\neg Q$ est fausse.

En tout état de cause, $P\wedge\neg P$ est fausse, que $P$ soit vraie ou fausse. C'est d'ailleurs pour cela que l'implication $(P\wedge\neg P)\implies R$ est vraie pour toute valeur de vérité de $R$... \[\begin{array}{cc|ccccc} P&Q&\neg P&\neg Q&P\wedge\neg P&Q\wedge\neg Q&(P\wedge\neg P)\to(Q\wedge \neg Q)\\ \hline V&V& \color{red}F&\color{red}F&\color{red}F&\color{red}F&V\\ V&F& \color{red}F&V&\color{red}F&F&\color{red}V\\ F&V& V&\color{red}F&F&\color{red}F&V\\ F&F&\cdots\end{array}\]Pour le texte...

• « pourquoi cela ne marche-t-il pas ? » : parce que tu ne remplis pas les tables en suivant les règles ; si tu remplis correctement les choses, tu constates que quelle que soit la valeur de vérité de $P$, celle de $P\wedge\neg P$ est F ;
• dans la dernière phrase, je ne comprends pas ce qui vient dans « cela vient » ni pourquoi on ne pourrait pas « choisir l'implication », ni ce qu'apporterait l'équivalence.

Ce que cette table met en lumière, c'est que si une assertion est contradictoire (i.e. vraie en même temps que sa négation), alors toute assertion est contradictoire.

gerard0

Tout cela montre bien que faire de la logique à partir seulement de "vrai/faux" et des tables de vérité amène à des absurdités si on ne respecte pas la règle de base "Une assertion n'a qu'une seule valeur de vérité. Or si A et non A sont vrais, A a deux valeurs de vérité (vrai par hypothèse et faux puisque non A est vrai.

GaBuZoMeu

Qu'est-ce qu'une distribution de valeurs de vérité ? C'est une application de l'ensemble des propositions dans l'ensemble $\{V,F\}$, qui satisfait certaines règles : par exemple, la valeur de vérité de $P\to Q$ est $V$, sauf si la valeur de vérité de $P$ est $V$ et celle de $Q$ est $F$.

En particulier, une distribution de valeurs de vérité ne donne jamais à la fois la valeur $V$ et la valeur $F$ a une même proposition.

Une distribution de valeurs de vérité est entièrement déterminée par les valeurs de vérité données aux variables propositionnelles. Une table de vérité dispose en lignes toutes les façons de donner des valeurs de vérité aux variables propositionnelles.

Cette approche des tables de vérité est une approche sémantique du calcul propositionnel. On peut aussi avoir une approche syntaxique en donnant une liste de règle de déduction du calcul propositionnel. Par exemple, en calcul de séquents (cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_des_s%C3%A9quents ) :

$$\begin{array}{rclc}\hline P&\vdash&P&\text{axiome}\\ \hline P,\neg P&\vdash&&\neg\text{ gauche}\\\hline P\wedge\neg P&\vdash&&\wedge\text{ gauche}\\\hline P\wedge\neg P&\vdash&Q\wedge \neg Q&\text{affaiblissement droit}\\\hline &\vdash&(P\wedge\neg P)\to (Q\wedge\neg Q)&\to\text{ droit} \end{array}$$

On aurait pu mettre n'importe quelle proposition à la place de $Q\wedge \neg Q$ dans l'affaiblissement droit.

[Pourquoi est-ce que le $\LaTeX$ de ce forum ne comprend pas \cline ?]

Gabenzz

@Math Coss,
J'ai bien compris que $P\wedge\neg P$ est faux, qu'il n'existe pas de propriété vraie telle que sa négation est vraie aussi.

Je constate que l'ensemble des personnes qui ont répondu sur ce topic n'ont jamais écrit que $P\wedge\neg P$ peut-être vraie dans une table ou littéralement.

Cependant l'exercice en question demande de montrer que si dans une théorie, une propriété P est contradictoire alors Q l'est aussi.

Ainsi je ne comprends pas pourquoi il est interdit d'écrire que $P\wedge\neg P$ est vraie puisque dans l'exercice on l'admet.
La conditions préliminaires que tu énonce dans la correction que tu propose de mon raisonnement :

Pourquoi n'y a-t-il que trois lignes dans cette table de vérité ? Pourquoi la table entière est-elle si fausse ? Si $P$ est vraie (1re et 2e lignes) alors $\neg P$ est fausse, de sorte que $P\wedge\neg P$ est fausse. De même, si $Q$ est vraie (1re et 3e lignes), alors $\neg Q$ est fausse.

Je considère qu'elles ne concordent pas avec les conditions de l'exercice qui postule que puisque $P\wedge\neg P$ est vraie alors $Q\wedge\neg Q$ est vraie.

Ce que cette table met en lumière, c'est que si une assertion est contradictoire (i.e. vraie en même temps que sa négation), alors toute assertion est contradictoire.

Moi je dirais plutôt que cette table met en lumière que P\wedge\neg P)\to(Q\wedge \neg Q est une tautologie dans le cas où $P$ et $Q$ sont non-contradictoires, je ne vois pas du tout ce que cela prouve dans le cas où $P$ est contradictoire.
La table que tu proposes en correction est vraie aussi dans le cas où P et Q sont non contradictoires.
Ma table est juste si l'on admet (comme cela est le cas dans l'exercice) que P et Q peuvent être contradictoires.
\begin{array}{cc|ccccc} P&Q&\neg P&\neg Q&P\wedge\neg P&Q\wedge\neg Q&(P\wedge\neg P)\to(Q\wedge \neg Q)\\\hline V&V&V&V&V&V&V\\ V&F&V&V&V&F&F\\ F&V&V&V&F&V&V\end{array}
Pourquoi ma table ne comporte que trois lignes ? Parce qu'il y a trois cas possibles de contradictions tant qu'on n'a pas prouvé que si P est contradictoire alors Q est contradictoire. En fait pour chacun des trois cas, il y a aussi l'opposé, on pourrait donc en dénombrer  6  5. Soit :
- P et Q sont contradictoires
- P est contradictoire mais pas Q
- P n'est pas contradictoire mais Q oui
Pourtant force est de constater que personne n'admet mon raisonnement alors si la loi du plus grand nombre est vraie, c'est que je dois avoir faux.
Mais le plus malheureux pour moi, c'est que je ne comprends toujours pas pourquoi. May be later...

Foys

gerard0 a dit :

Tout cela montre bien que faire de la logique à partir seulement de "vrai/faux" et des tables de vérité amène à des absurdités si on ne respecte pas la règle de base "Une assertion n'a qu'une seule valeur de vérité.

Une formule propositionnelle construite sur les "variables propositionnelles" $A_1,\dots,A_n$ est essentiellement une écriture d'une fonction de $\{0,1\}^n$ dans $\{0,1\}$ (les $A_i$ désignant des projections sur les coordonnées).

L'ensemble des fonctions de $\{0,1\}^n$ dans $\{0,1\}$ ne peut être confondu avec $\{0,1\}$ que lorsque $n=0$.

Foys

@Gabenzz il y a une faute dans la deuxième ligne de ton tableau (dernier message): $\neg P$ et $\neg Q$ valent respectivement $F$ et $V$.

Gabenzz

@Foys
Merci, corrigé.
Edit : En fin de compte non,
Deuxième ligne, Q non contradictoire ((Q = F et non Q = V) ou (Q = V et non Q = F)), P contradictoire (P = V et non P = V)

Je ne suis pas sûr d'arriver à me faire comprendre... j'aime bien débattre mais bon je vais surtout continuer d'apprendre.

GaBuZoMeu

@Gabenzz

Je te l'ai déjà écrit, mais je le répète : une distribution de valeurs de vérité qui donne la valeur $V$ aux axiomes de la théorie $T$ est un modèle de $T$. Une théorie contradictoire est une théorie qui n'a aucun modèle. Tu n'auras JAMAIS une distribution de valeurs de vérité qui donne la valeur $V$ à $P\wedge \neg P$. Tu essaies obstinément d'écrire une distribution de valeurs de vérité qui donne la valeur $V$ à la fois à $P$ et à $\neg P$ ; c'est impossible, une telle distribution de valeurs de vérité n'existe pas. Une distribution de valeurs de vérité vérifie par définition les règles de la logique propositionnelle.

Donc, dans toute distribution de valeurs de vérité qui donne la valeur $V$ à $P\wedge \neg P$, n'importe quelle proposition a la valeur $V$ (et aussi la valeur $F$). (Bien sûr, puisqu'il n'y a aucune telle distribution de valeurs de vérité !)

"si la loi du plus grand nombre est vraie, c'est que je dois avoir faux."

Ce n'est pas la loi du plus grand nombre (les maths ne fonctionnent pas comme ça), juste les conséquences logiques des définitions.

Gabenzz

@GaBuZoMeu,

Je te l'ai déjà écrit, mais je le répète : une distribution de valeurs de vérité qui donne la valeur $V$ aux axiomes de la théorie $T$ est un modèle de $T$. Une théorie contradictoire est une théorie qui n'a aucun modèle. Tu n'auras JAMAIS une distribution de valeurs de vérité qui donne la valeur $V$ à $P\wedge \neg P$. Tu essaies obstinément d'écrire une distribution de valeurs de vérité qui donne la valeur $V$ à la fois à $P$ et à $\neg P$ ; c'est impossible, une telle distribution de valeurs de vérité n'existe pas. Une distribution de valeurs de vérité vérifie par définition les règles de la logique propositionnelle.

N'est-ce pas ce qui est proposé ici ?

Admettre la valeur "V" pour l'assertion $P\wedge \neg P$ ?

Foys

@Gabenzz achète ou emprunte un autre livre, tu te fais du mal pour rien.

GaBuZoMeu

On t'a déjà dit que ce que raconte ton bouquin sur la logique est assez foireux.
Je t'ai déjà proposé une rustine pour donner un sens à ce qui est écrit :

GaBuZoMeu a dit :

.. l'énoncé a un sens si l'on accepte que "vrai dans une théorie T" signifie "vrai dans toute distribution de valeurs de vérité qui donne la valeur V aux axiomes de T", autrement dit "vrai dans tout modèle de T".

Une théorie contradictoire est une théorie qui n'a pas de modèle. Donc, dans une théorie contradictoire toute proposition est vraie (ainsi que sa négation).

Encore une fois, AUCUNE DISTRIBUTION DE VALEURS DE VÉRITÉ NE DONNE LA VALEUR $V$ À $P\wedge\neg P$.

Désolé de devoir crier, mais-peut-être finiras-tu par entendre ?

Thierry Poma

Gabenzz : bonsoir. Je t'invite à acquérir le livre du collectif David-Nour-Raffalli intitulé Introduction à la logique - Théorie de la démonstration. Il est très clair et te servira tout le temps. Une troisième édition était prévue pour juillet 2023, mais il semblerait que la date ait été repoussée. La théorie des modèles y est succinctement développée de façon claire et simple. En tous cas, il te permettra de t'attaquer à des livres plus compliqués, si le sujet t'intéresse. Il est impossible de faire de la bonne Mathématique sans un minimum de connaissances fondamentales dans ces domaines.

Math Coss

Gabenzz a dit :

J'ai bien compris que $P\wedge\neg P$ est faux, qu'il n'existe pas de propriété vraie telle que sa négation est vraie aussi.

[...]

Ainsi je ne comprends pas pourquoi il est interdit d'écrire que $P\wedge\neg P$ est vraie puisque dans l'exercice on l'admet.

Ce n'est pas interdit, c'est incohérent – incompatible avec les règles d'utilisation d'une table de vérité. Ce que l'on se donne, c'est la valeur de vérité des variables qui représentent les assertions (ici $P$ et $Q$) et on en déduit le reste. Or, comme le dit délicatement GaBuZoMeu, il n'existe pas de valeur de vérité de $P$ qui donne $V$ pour valeur de vérité de $P\wedge\neg P$. De sorte que la seule interprétation possible de la phrase « si $P\wedge\neg P$ alors $Q\wedge\neg Q$ » est l'assertion « $(P\wedge\neg P)\implies(Q\wedge\neg Q)$ », qui se révèle être une tautologie lorsque l'on remplit la table convenablement.

Médiat_Suprème

@Gabenzz : vous bloquez sur un point expliqué par Bertrand Russell il y a bien longtemps (si 2+ 2 = 5 est vraie alors, je suis le pape (j'ai adapté l'anecdote))

Foys

Gabenzz a dit :

@Math Coss,
JAinsi je ne comprends pas pourquoi il est interdit d'écrire que $P\wedge\neg P$ est vraie puisque dans l'exercice on l'admet.

Un truc qui n'a pas été dit dans le fil. On peut admettre n'importe quoi et comme la prémisse est fausse ici, l'implication est juste...

Si $P,Q$ sont des formules propositionnelles sur un ensemble de variables propositionnelles et si pour un choix de valeur de vérité des variables, on a $P \wedge \neg P$ donne la valeur $V$ alors on a aussi $Q \wedge \neg Q$ qui donne la valeur  $ V$ en plus de l'existence de Superman, parce qu'en fait $P \wedge \neg P$ ne donne pas la valeur  $V$.

Le reste des propos du livre est confusant au possible.

Médiat_Suprème

Si, si, cela a été dit (suggéré) dans ce fil : l'anecdote de Bertrand Russell qui illustre parfaitement ce point 

samok

La physique s'est accommodée de paradoxes, elle dispose également de deux théories contradictoires entre elles.
L'informatique (le traitement automatique de l'information) évolue, même si on en parle moins ces temps-ci, a une base théorique pour se fonder sur des lois quantiques.
L'informatique et la logique sont liées, cela ne me choquerait pas que la notion de superposition entre le Vrai et le Faux émerge.
Il suffirait que ce point de vue fasse ses preuves avec des résultats, comme cela a toujours été.
Bisous @ Emmanuel KANT

JLapin

Gabenzz a dit :

Bonjour
Merci à tous pour vos réponses.
Malheureusement je n'arrive toujours pas à me convaincre de la solutions de cet exercice.

Ah bon ?
On se donne $P$ et $Q$ deux propriétés.
On vérifie par une table de vérité que l'implication $\overline{P}\implies (P\implies Q)$ est une tautologie.
Maintenant, si $P$ est telle que $P$ et $\overline{P}$ soient $V$, alors $Q$ est $V$ grâce à cette double implication, et ceci pour tout $Q$, donc aussi pour $\overline{Q}$.

C'est assez simple je trouve.

Après, je ne suis pas qualifié pour juger de la pertinence de cet exercice du point de vue d'un spécialiste de la logique. J'ai surtout l'impression qu'il s'agit d'un petit exercice de table de vérité sans prétention, comme il en existe des dizaines dans les différentes feuilles d'introduction au raisonnement à Bac+1.

GaBuZoMeu

JLapin a dit :

si $P$ est telle que $P$ et $\overline{P}$ soient $V$

Qu'est-ce que ça veut dire ???

Répétons une nouvelle fois :

AUCUNE DISTRIBUTION DE VALEURS DE VÉRITÉ NE DONNE LA VALEUR 𝑉 À 𝑃∧¬𝑃.

Foys

GaBuZoMeu a dit

Qu'est-ce que ça veut dire ???

Répétons une nouvelle fois :

AUCUNE DISTRIBUTION DE VALEURS DE VÉRITÉ NE DONNE LA VALEUR 𝑉 À 𝑃∧¬𝑃.

Ça ne contredit pas vraiment ce que dit @JLapin,  si pour tout énoncé $P$, $val(P) \neq V$  ou $val (\overline P) \neq V$, alors pour tous énoncés $P$ et $Q$, si $val(P)= V$ et $val(\overline P) = V$,  alors $val(Q)= V$ et $val(\overline Q) = V$.

GaBuZoMeu

@Foys : je demande à JLapin ce qu'il veut dire. Et si tu lisais ce que j'écris depuis le début, tu verrais que je répète ad libitum que puisqu'aucune distribution de valeurs de vérité ne donne la valeur $V$ à $P$ et $\neg P$, toute distribution de valeurs de vérité qui donne la valeur $V$ à $P$ et $\neg P$ donne aussi la valeur $V$ à n'importe quelle proposition (et à sa négation).

JLapin

Je me contente de reformuler (à peine) la correction et l'utilisation de la tautologie qui va bien qui y est présentée dans le but de montrer que

toute distribution de valeurs de vérité qui donne la valeur $V$ à $P$ et $\neg P$ donne aussi la valeur $V$ à n'importe quelle proposition (et à sa négation)

afin d'aider le posteur initial.

Thierry Poma

Bonjour tout le monde

Je tente de me mettre à la place de l'auteur du fil. Qu'entend-on par toute distribution de valeurs de vérité ? Peut-on avoir une distribution des valeurs dans $\{0,\,1,\,2\}$ ? (là, j'exagère !)

JLapin

J'ai l'impression qu'on prête à ce modeste exercice sur les tables de vérité des intentions qui le dépassent largement.

Si j'ai bien compris, l'auteur du manuel passe de temps en temps sur le forum. Peut-être pourra-t-il nous expliquer ses intentions ?

Médiat_Suprème

Les valeurs de vérité peuvent être prises dans beaucoup d'ensembles (mais ce n'est plus la même logique), comme [0; 1], ou même un espace topologique à peu près quelconque ...

Math Coss

Quel est le manuel ? Qui est l'auteur ?

PS (suite à la réponse ci-dessous, pour ne pas ajouter un message inutile après ce message inutile) : ah oui, c'est écrit. My bad!

JLapin

Les auteurs sont indiqués dans le premier message : M.C. Darracq et J.E. Rombaldi.

GaBuZoMeu

afin d'aider le posteur initial.

Je crains que ça ne fasse qu'entretenir sa confusion. En tout cas, moi, je ne comprends pas ce que veut dire "$P$  telle que $P$ et $\neg P$ soient $V$". Je sais ce que veut dire qu'une distribution de valeurs de vérité donne la valeur $V$ à une proposition $P$. Mais ta phrase, là, je ne la comprends pas. Aussi Je t'ai demandé d'expliquer ce que ça veut dire, mais je n'ai pas de réponse. 

JLapin

Je crois avoir compris l'argument du type $0\neq 0$ donc je suis milliardaire.

Mais l'énoncé me demande de supposer que dans une certaine théorie, il existe une propriété $P$ contradictoire c'est-à-dire telle que $P\wedge \overline{P}$ soit vraie.

Comme je suis bête et discipliné, je me donne une telle théorie et une telle propriété associée.

Et comme dans le corrigé, je m'autorise à dire que $\overline{P}$ puis $P$ sont vraies pour utiliser la tautologie proposée par le corrigé afin de justifier que toutes les propriétés $Q$ sont contradictoires.

Comme je sens que ma réponse ne va pas plaire, je te pose une question en retour :

peux-tu si c'est le cas écrire que la correction proposée par l'ouvrage est ratée et ne recevrait pas les points à un examen ?