Équidistance

Philippe Boulanger

Le point équidistant de trois points coplanaires mais quelconques est le centre du cercle passant par ces trois points. Que peut-on dire quand il y a quatre points? Ou plus?

Math Coss

Est-ce que le quatrième point est à la même distance du centre du cercle circonscrit au triangle formé par les trois premiers ? Parfois oui, parfois non. Autrement dit, est-ce que les quatre points sont sur un même cercle ? On peut le dire sans faire apparaître le centre du cercle avec une condition d'angle (orienté de droites) : $(CA,CB)=(DA,DB)$.

JLT

Pour toute partie compacte du plan, il existe un et un seul disque de rayon minimal la contenant. Il serait intéressant de trouver une construction géométrique du centre dans le cas où la partie compacte est un ensemble de quatre points.

Philippe Boulanger

En fait je  cherche une équation analytique des coordonnées du point pour lequel la différence entre deux distances parmi les quatre est minimale.
Merci de votre aide

Rescassol

Bonjour,

Soit $ABCD$ un quadrilatère plan (convexe, quitte à renommer les points).
On a $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=2\pi$, donc soit $\widehat{A}+\widehat{C}\leq\pi$, soit $\widehat{B}+\widehat{D}\leq\pi$.
Alors, il y a forcément un des quatre points qui est situé à l'intérieur du cercle passant par les trois autres.

Cordialement,
Rescassol
  

Vassillia

Bonjour
Si tu cherches à minimiser l'écart entre le cercle et l'ensemble des points, je te suggère de t'intéresser à la régression circulaire https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gression_circulaire

J'aurais tendance à te conseiller la méthode linéaire de Kasa et Coope qui a le moins d'hypothèse sur la distribution des données, tu peux utiliser le logiciel R avec ce compilateur en ligne https://www.mycompiler.io/fr/new/r et le code suivant où tu devras bien sur remplacer les valeurs dans x et y par tes valeurs

x=c(0.8, 3.3, 5.6, 7.5, 6.4, 4.4, 0.3, -1.1) #abscisses des points
y=c(4.1, 4.7, 4.0, 1.3, -1.1, -3.0, -2.5, 1.3) #ordonnée des points
plot(x, y, col='blue') #trace l'ensemble des points de coordonnées (x,y)
donnees <- data.frame(x, y)
cercle <- lm(I(x^2 + y^2) ~ x + y, donnees) #régression circulaire qui permet de trouver les coefficients e0,e1 et e2 tel que (x^2+y^2)=e0+e1*x+e2*y
xc <- coef(cercle)[2]/2 #calcul de l'abscisse du centre
yc <- coef(cercle)[3]/2 #calcul de l'ordonnée du centre
r <- sqrt(coef(cercle)[1] + xc^2 + yc^2) #calcul du rayon
print(xc) ; print(yc) ; print(r) #affiche les coordonnées du centre et du rayon

theta <- seq(0, 2*pi, len = 40) #paramétrage pour des coordonnées polaires
xmodcercle <- xc + r*cos(theta) 
ymodcercle <- yc + r*sin(theta)
lines(xmodcercle, ymodcercle, col='red') #trace le cercle trouvé

Rescassol

Bonjour,

Voilà un programme Python écrit il y a quelque temps.

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# Régression circulaire aux moindres carrés - Rescassol - Mars 2020
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# Importations
###################################################################

import numpy as np
import numpy.linalg as la

import matplotlib.pyplot as plt

###################################################################
# Fonctions
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def maxfig():
    mng = plt.get_current_fig_manager()
    mng.window.showMaximized()

###################################################################

def init1(N):
    T=2*np.pi*np.random.rand(N)
    X=x0+R*np.cos(T)
    Y=y0+R*np.sin(T)
    perturbMax=0.2
    perturbX=perturbMax*(2*np.random.rand(N)-1)
    perturbY=perturbMax*(2*np.random.rand(N)-1)
    # X*=1+perturbX # variante proportionnelle
    # Y*=1+perturbY
    X+=perturbX # variante constante
    Y+=perturbY

    return X,Y

def init2(N):
    X=np.random.rand(N)
    Y=np.random.rand(N)

    return X,Y

def init3():
    Tab1=[1,0,-1,-2,-1,2,2,1,-1]
    Tab2=[-1,-1,-1,-1,2,5,3,-2,-10]
    Tab3=[-3,-2,6,6,1,9,-3,-7,-8]
    Tab4=[-8,10,6,8,-5,-12,7,-7,7]
    Tab5=[1,-3,10,1,-6,-2,-10,-3,2]
    Tab6=[9,-3,14,-8,0,-7,9,3,-4]
    Tab7=[-10,-7,12,7,2,-12,-4,-2,5]
    Tab8=[0,1,-7,7,-4,12,-6,3,-6]

    Tab = Tab1+Tab2+Tab3+Tab4+Tab5+Tab6+Tab7+Tab8
    Rac = np.roots(Tab)
    X, Y =np.real(Rac), np.imag(Rac)

    return X,Y,len(Tab)-1

def RegressionCirculaire(X,Y):
    n=len(X)
    D11=n*sum(X*Y)-sum(X)*sum(Y)
    D20=n*sum(X**2)-sum(X)**2
    D02=n*sum(Y**2)-sum(Y)**2
    D30=n*sum(X**3)-sum(X**2)*sum(X)
    D03=n*sum(Y**3)-sum(Y**2)*sum(Y)
    D21=n*sum(X**2*Y)-sum(X**2)*sum(Y)
    D12=n*sum(X*Y**2)-sum(X)*sum(Y**2)

    M=np.array([(D20,D11),(D11,D02)])
    B=np.array([(D30+D12)/2,(D03+D21)/2])
    C=la.solve(M,B)
    c=(sum(X**2)+sum(Y**2)-2*C[0]*sum(X)-2*C[1]*sum(Y))/n
    R=np.sqrt(c+C[0]**2+C[1]**2)

    return C[0],C[1],R

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# Script principal de test
###################################################################

x0, y0, R, n = 1.0, 1.0, 1.0, 1000
X,Y=init1(n)

plt.close('all')
fig=plt.figure(linewidth=10,facecolor = 'gold',edgecolor='red')
plt.axis('equal')
plt.plot(X,Y,'ob',markersize=5)
plt.title('Régression circulaire', fontsize=30, fontweight='bold', color='m')
plt.xlabel('Nombre de points = '+str(n), fontsize=30, fontweight='bold', color='m')

p=3
a,b,r = RegressionCirculaire(X,Y)
print('Cercle(['+str(round(a,p))+','+str(round(b,p))+'],'+str(round(r,p))+')')
T=np.linspace(0.0,2*np.pi,n)
X=a+r*np.cos(T)
Y=b+r*np.sin(T)
plt.plot(X,Y,'r',linewidth=3)

maxfig()
plt.show()

Cordialement,
Rescassol

Philippe Boulanger

Merci, je vais m'y atteler. Mais j'aurais mieux aimé une équadif. Amitiés à tous.

pappus

Bonjour à tous

On pourrait s'intéresser aussi à l'ellipse de plus petite excentricité (la plus "proche" d'un cercle) passant par les quatre points

Je me souviens que Poulbot avait donné une construction fort brillante de cette ellipse!

Amicalement

pappus

Vassillia

Ceux qui s'y intéressent pourraient le faire sur la discussion initiale https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/858579 que j'ai retrouvé pour l'occasion.

Math Coss

Aire ou excentricité minimale ?

lourrran

Tu dis que tu veux des equa-diff, mais peut-être qu'on peut les trouver ces équa-diff.

Tu as 4 points $M_i(x_i,y_i)$. En fait, a priori on peut généraliser à $n$ points ($n \ge 4$), sans rien changer à la difficulté de l'exercice.  
Tu cherches un point $C_0(x_0,y_0)$ qui sera le centre du cercle, et un rayon $r_0$ 

On sait calculer la distance $d(M_i,C_0)=\sqrt{(x_i-x_0)^2+(y_i-y_0)^2}$
Et on sait calculer l'écart entre cette distance et $r_0$ : $\varepsilon_i = |r_0-\sqrt{(x_i-x_0)^2+(y_i-y_0)^2}|$

Là , il faut certainement faire des choix, et/ou des impasses. Si tu cherches $(x_0,y_0, r_0)$ pour minimiser $\Sigma_i { \varepsilon_i}$ ou pour minimiser $\Sigma_i { \varepsilon_i^2}$ , ou pour minimiser $\max_i { \varepsilon_i^2}$ ,
il y a peut-être certains de ces problèmes qui correspondent un peu mieux à ton besoin mais qui mènent des calculs trop compliqués, contre d'autres formulations du problème très légèrement différentes, mais atteignables.
Mais de toutes quand on cherche à minimiser un certain total, et que ce total est une fonction dérivable de $(x_0,y_0, r_0)$, ça revient (dans un premier temps) à chercher un triplet où les 3 dérivées partielles s'annulent. En principe, ce point (unique) correspond à un minimum, et pas un maximum, si le problème a bien été posé au départ.

J'ai repris l'expression équa-diff, parce que tu l'employais, mais je pense qu'elle est inadaptée.  Cette méthode fait intervenir des dérivées, mais ce n'est pas du tout ce qu'on appelle des équa-diff. Et tu peux prendre le problème comme tu veux, tu n'arriveras pas à des équa-diff. C'est un tout autre domaine.

Vassillia

@Math Coss Tu trouveras les deux dans le lien que j'ai mis car on y trouve la référence à un article http://archive.numdam.org/item/NAM_1845_1_4__480_0.pdf qui caractérise l'ellipse s'écartant le moins du cercle, problème résolu en 1845, vraisemblablement pas par Poulbot, mais je ne veux pas divulgâcher.

Edit : En fait tu as raison, la discussion initiale était celle-là https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/856295 puisqu'elle parle spécifiquement de l'excentricité et annonce la future discussion avec l'aire.