Comparaison entre ensembles quotients

amafhh

Bonjour
Soit $E$ un ensemble et $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}^{\prime}$ deux relations d'équivalence sur $E$ vérifiant : $$ x\mathcal{R}y\Longrightarrow x\mathcal{R}^{\prime}y \;\;\;\forall x,y\in E $$
On considère les ensembles quotients $ E\diagup \mathcal{R}^{\prime}$ et $ E\diagup \mathcal{R}$.
1) A-t-on $ E\diagup \mathcal{R}^{\prime}\subset E\diagup \mathcal{R} \ ? $
2) Soit $A\subset E$. A-t-on $ E\diagup \mathcal{R}=A\diagup \mathcal{R}\sqcup \overline{A}\diagup \mathcal{R} \ ? $
Merci par avance.

MrJ

1) L’inclusion n’a pas de sens à priori. Par contre, on a une application naturelle de $E/\mathcal{R}$ dans $E/\mathcal{R}´$. Cette dernière est surjective.

2) C’est faux en général. Si tu considère une partie $A$ qui contient une partie seulement d’une classe d’équivalence, alors l’égalité ne pourra pas être vérifiée.

amafhh

MrJ merci 

pour question 2) si on remplace réunion disjointe par réunion quelconque l'égalité devient correcte. Vrai ?

MrJ

Non. Considère un exemple simple : $E=\{1,2,3,4\}$, $A=\{1,2\}$ et $x\mathcal{R}y$ si $2$ divise $x-y$.

Thierry Poma

@amafhh : bonsoir. Tel que tu présentes tes relations, $\mathcal{R}$ est plus fine que $\mathcal{R}'$, ce qui fait que toute classe d'équivalence modulo $\mathcal{R}$ est incluse dans une classe d'équivalence modulo $\mathcal{R}'$, i.e. ce qui revient au même, que toute classe d'équivalence modulo $\mathcal{R}'$ est saturée pour $\mathcal{R}$ .