Formes linéaires unitaires
Bonjour
J'aimerais montrer que, dans $\mathbb R^n$ muni d'une norme $||\cdot ||$ quelconque, il existe une base $e_1,\dots,e_n$ de vecteurs unitaires tels que les formes linéaires $e_i^*$ donnant les coordonnées dans cette base soient de norme subordonnée $\leqslant 1$ (norme subordonnée à la norme précédente).
J'aimerais montrer que, dans $\mathbb R^n$ muni d'une norme $||\cdot ||$ quelconque, il existe une base $e_1,\dots,e_n$ de vecteurs unitaires tels que les formes linéaires $e_i^*$ donnant les coordonnées dans cette base soient de norme subordonnée $\leqslant 1$ (norme subordonnée à la norme précédente).
J'ai fait un dessin en dimension deux, et ça se voit bien pour les normes usuelles. Je ne sais pas si je peux me ramener à ces normes par équivalence des normes, ça me semble ardu. J'ai la forte intuition que la convexité de la boule fermée unité joue un rôle.
Des idées ?
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Réponses
En fait c'est plus subtil et c'est le lemme d'Auerbach qui répond à la question.