L'espace $\R^{[0,1]}$
Réponses
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Pour moi, c'est l'ensemble des $f:\left[0,1\right]\to\mathbf{R}$. Pour l'algèbre c'est, notamment, une $\R$-algèbre pour les lois usuelles. Pour la topologie, on peut regarder du côté de la convergence simple.
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BonjourNe pas oublier que $[0,\,1]$ est un compact de $\R$. Il y a donc de belles propriétés (pas forcément topologiques) : uniforme continuité, bornitude, ...Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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La topologie la plus naturelle à considérer est la topologie produit, qui coïncide avec la topologie de la convergence simple : c'est la plus grande topologie rendant les "projections" $f \mapsto f(x)$ continues, avec $x \in [0, 1]$. Concrètement, une base d'ouverts est l'ensemble des $\{f : [0, 1] \to \mathbb R \mid \forall i \in \{1, \dots, n\}, |f(x_i) - y_i| < \varepsilon\}$, avec $x_1, \dots, x_n, \in [0, 1], y_1, \dots, y_n \in \mathbb R, \varepsilon > 0$.
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Le message original possède deux questions :
1) la définition de l’ensemble $X^Y$
cela a été dit : les fonctions de $Y$ vers $X$
2) on munit d’une topologie :
plusieurs topologies sont possibles
on choisit selon les besoins, les contraintes
les premières topologies qui sortent sont :
la topologie grossière
la topologie discrète
la topologie produit
puis des topologies liées à des distances ou normes. -
Merci à vous.
Donc $\mathbb{R}^{[0,1]}$ est l'espace de fonctions de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$.
Pourriez-vous m'expliquer d'avantage le lien entre la topologie produit et la topologie de la convergence simple ? -
Bonsoir,
sur cette page, on a « topologie de la convergence simple ». Et dedans « article détaillé sur la topologie produit ».Bonne lecture.
Cordialement
Dom -
Merci beaucoup
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Bonjour!
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