L'espace $\R^{[0,1]}$

rosemary

Bonjour
Comment peut on définir l'espace $\mathbb{R}^{[0,1]}$ ? Comment est définie la topologie sur cet espace ?

Magnéthorax

Pour moi, c'est l'ensemble des $f:\left[0,1\right]\to\mathbf{R}$. Pour l'algèbre c'est, notamment, une $\R$-algèbre pour les lois usuelles. Pour la topologie, on peut regarder du côté de la convergence simple.

Thierry Poma

Bonjour

Ne pas oublier que $[0,\,1]$ est un compact de $\R$. Il y a donc de belles propriétés (pas forcément topologiques) : uniforme continuité, bornitude, ...

Poirot

La topologie la plus naturelle à considérer est la topologie produit, qui coïncide avec la topologie de la convergence simple : c'est la plus grande topologie rendant les "projections" $f \mapsto f(x)$ continues, avec $x \in [0, 1]$. Concrètement, une base d'ouverts est l'ensemble des $\{f : [0, 1] \to \mathbb R \mid \forall i \in \{1, \dots, n\},  |f(x_i) - y_i| < \varepsilon\}$, avec $x_1, \dots, x_n, \in [0, 1], y_1, \dots, y_n \in \mathbb R, \varepsilon > 0$.

Dom

Le message original possède deux questions : 
1) la définition de l’ensemble $X^Y$
cela a été dit : les fonctions de $Y$ vers $X$ 

2) on munit d’une topologie : 
plusieurs topologies sont possibles 
on choisit selon les besoins, les contraintes 
les premières topologies qui sortent sont : 
la topologie grossière 
la topologie discrète 
la topologie produit 

puis des topologies liées à des distances ou normes. 

rosemary

Merci à vous.
Donc $\mathbb{R}^{[0,1]}$ est l'espace de fonctions de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$.
Pourriez-vous m'expliquer d'avantage le lien entre la topologie produit et la topologie de la convergence simple ?

Dom

Bonsoir,
sur cette page, on a « topologie de la convergence simple ». Et dedans « article détaillé sur la topologie produit ».

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Convergence_simple

Bonne lecture.
Cordialement
Dom

rosemary

Merci beaucoup