Perturbons la matrice $J_n$

P.2

$J_n$ est la matrice carrée d'ordre $n$ formée uniquement de 1. C'est un exercice bien classique de trouver ses valeurs propres. Mais quelles sont les valeurs propres quand on remplace une des entrées de $J_n$ par zéro ?

Math Coss

Rien de tel que l'expérimentation pour s'échauffer les doigts.

Héhéhé

Notons $K_n$ une telle matrice.
Le rang de $K_n$ est $2$ donc 0 est valeur propre de multiplicité $n-2$ (théorème du rang).
Ensuite on peut passer par le calcul du polynôme caractéristique de $K_n$ pour exprimer celui-ci à l'aide de ceux des $J_k$ pour $k < n$.
Il faut sans doute distinguer le cas où le 0 est sur la diagonale et celui où il ne l'est pas.

MrJ

Notons $A_n$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\R)$ dont tous les coefficients valent $1$ sauf le coefficient en position $(i,j)$ qui est nul.

On remarque que $A_n$ est de rang $2$, donc son polynôme caractéristique est

$$\chi(X)=X^{n-2} \left(X^2 - \textrm{tr}(A_n) X + \dfrac{\textrm{tr}(A_n)^2 - \textrm{tr}(A_n^2)}{2}\right).$$
Dans le cas où $i=j$, on obtient que
$$\chi(X)=X^{n-2} \left(X^2 - (n-1) X + (1-n)\right).$$ Dans le cas où $i\neq j$, on obtient que
$$\chi(X)=X^{n-2} \left(X^2 - n X + 1\right).$$

P.2

 Très bien. Si le zéro est en $(1,2)$ et si on me demandait comment  je fais :  on  introduit le vecteur $f=e_1+\cdots+e_n$ pour écrire l'endomorphisme $f\otimes f-e_1\otimes e_2$ dans la base $f,e_1,e_2, e_4, \ldots e_n.$