Exercice 293 du serveur d'exercices
cf https://les-mathematiques.net/serveur_exos/exercices/127/1880/ exercice 293.
La solution proposée me semble fausse ou bien je n'ai rien compris au développement.
En appliquant le théorème de la moyenne, on a qu'il existe au moins un "c" sur [a,b] tel que f(c) = 1/(b-a) * ∫f(t)dt sur [a, b]. Il faut montrer qu'il existe un "c" excluant "a" et "b".
En appliquant le théorème de la moyenne, on a qu'il existe au moins un "c" sur [a,b] tel que f(c) = 1/(b-a) * ∫f(t)dt sur [a, b]. Il faut montrer qu'il existe un "c" excluant "a" et "b".
En supposant c = a, on montre par l'absurde, car contradiction avec théorème de la moyenne, qu'il existe des points x de f sur le segment (a,b) exclus "a" et "b" tels que f(x) est a` la fois > et < a` f(a) et comme f continue par le théorème des valeurs intermédiares, l'équation f(a) intersecte f sur le segment (a, b) "a" et "b" exclus.
D'où il existe bien au moins un c sur (a, b), (extrémités exclues) tel que f(c) = 1/(b-a) * ∫f(t)dt sur [a,b].
Ma conclusion, f continue et monotone sur [a, b] alors "c" est unique et dans (a, b) extrémités exclues, sinon (f toujours continue mais pas monotone) alors il existe des "c" (y compris "a") tels que f(c) = f(a) et c != a compris sur segment (a, b) extrémités exclues.
Idem en considérant c = b
Pourriez-vous m'éclairer sur la solution telle que dans l'exercice et sur mon raisonnement.
Merci bien !
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Réponses
Dans ton raisonnement, il faudrait aussi détailler l'utilisation du théorème de la moyenne.
Par ailleurs, je ne comprends pas pourquoi tu parles de monotonie.
Je parle dune fonction monotone comme exemple où il existe une valeur "c" unique sur ]a, b[ ouvert qui vérifie la formule de la moyenne, et sinon, solutions multiples "c_i" de l'équation (b-a) * f(c_i) - ∫f(t)dt sur [a,b] = 0 avec au moins un c_i dans [a, b] extremités exclues.
En fait je me reprends sur la 2ième partie de ma conclusion barrée ci-dessus. En effet fonction monotone => un "c" unique sur ]a, b[ ouvert mais la réciproque n'est pas vraie : fonction non monotone sur [a,b] n'implique pas nécessairement solutions multiples. C'est vrai seulement pour le cas où c= a (ou "b") alors f ne peut pas être monotone et il existe au moins une autre solution sur ]a, b[ ouvert.
Tu mentionnes aussi la solution de l'exercice incomplète, comment arrive-t-on à ce résultat sur [0,1] et pourquoi cela prouverait qu'il existe c sur [a,b] extremités exclues.
Il fallait lire: φ s'annule en au moins un point c ∈ ]a,b[. Je pense qu'en plus de la "coquille", la solution de l'auteur(e) laisse à désirer... Mon raisonnement est bien plus rigoureux.
Cordialement
Cordialement.