Compréhension des ordres de grandeur

nyadis

Il est clair que dire $f \ll g$ équivaut à $f = O(g)$ et que cela signifie qu'il existe des constantes $N$ et $C$ telles que $|f(x)| \leq C|g(x)|$ quand $x \geq N$.

Ceci veut donc dire que pour toute constante $A$, on a $1 \ll A$ car il suffit de prendre $C= 1/A$ dans la définition. Et en même temps, $A \ll 1$ ; il suffit de prendre $C=A$ dans la définition. Jusque-là, est-ce que c'est normal ?

Cela veut dire que si en pratique j'ai une fonction $f$ telle que $0 < f(x) < 1$ pour tout $x$, alors $\min_{x \in K} f(x) \ll 1$ et en même temps $\min_{x \in K} f(x) \gg 1.$ avec $K$ compact. 

Où alors ces notations ne sont pas valable pour des constantes. Alors que je rencontre régulièrement les truc comme  $f(0) \gg 1$ par exemple. 

lourrran

Je ne suis pas trop au courant de certaines notations 'modernes', mais ta 1ère phrase (il est clair que ... ) me semble fausse.

nyadis

https://fr.wikipedia.org/wiki/Comparaison_asymptotique#:~:text=> 0 (fixé).,un facteur poly-logarithmique près.

JLapin

nyadis a dit :

Où alors ces notations ne sont pas valable pour des constantes. Alors que je rencontre régulièrement les truc comme  $f(0) \gg 1$ par exemple. 

Peut-être que le $f$ en question dépend d'un paramètre qu'on fait tendre vers quelque chose. Sinon, je ne comprends pas bien ce que ça signifie.

Math Coss

Que $f(0)\ne0$ ? Avec en ligne de mire l'intention d'exploiter la transitivité ?

gerard0

Bonjour Nyadis.
La page que tu cites donne (tableau des relations de comparaison) une définition rigoureuse de la relation O. A toi de la saisir pour l'appliquer.

D'ailleurs, contrairement à ce que dit ton titre, il ne s'agit pas d'ordres de grandeur (qui concerne des nombres fixes ou variant peu), mais de comparaisons asymptotiques, de ce qui se passe quand quelque chose tend vers l'infini (pour une suite) ou un nombre ou l'infini (pour une fonction).

Donc on trouveras souvent $O(f(n)) = 1$, où $1$ est la suite constante dont tous les termes valent 1, $O(f(x)) = 1$, où $1$ est la fonction constante $x\mapsto 1$, à la limite $O(f(0)) = 1$, où on a oublié de noter que $f$ dépendait d'une variable ou d'un indice, qui tend vers ce qui nous intéresse (la notation correcte est $O(f(t,0)) = 1$ ou $O(f_n(0)) = 1$).

Dernière chose. Quand on rencontre ces notations, il y a un contexte de limite, très souvent sous-entendu lorsqu'il s'agit de suites (il n'y a qu'une sorte de limite à considérer), mais normalement précisé quand il s'agit de fonctions.

Une fois ces notions totalement précisées, il est vrai, que pour deux fonctions constantes non nulles $A$ et $B$, on a, dans n'importe quelle condition de limite, $A= O(B)$. Mais ça n'a pas d'intérêt, les relations de comparaison étant définies pour étudier des variations relatives.

Cordialement.

lourrran

La notation $\ll$ est parfois utilisée avec des constantes (en économie par exemple).  La population du  Vatican A est beaucoup plus petite que la population de l'Inde B : $ P_A \ll P_B $

Dans ces contextes, on ne peut pas avoir à la fois $ P_A \ll P_B $ et $ P_B \ll P_A $ ; le symbole $\ll$ est similaire au symbole <, mais en 'accentué'.

En maths, avec la notation de Vinogradov, c'est différent : si $ P(A) \ll P(B) $ alors $ P(B) \ll P(A) $

En principe, quand on utilise des notations qui ne sont pas totalement standardisées, on donne la définition précise de ces notations avant de les utiliser.

Le lien Wikipédia que tu donnes nous dit bien que ces notations ne sont pas universelles. 

Personnellement, quand je vois $\ll$, je vois un symbole 'Inférieur' , et même un symbole 'inférieur' doublé. Et du coup, la notation de Vinogradov me paraît vraiment contre-intuitive.