Montrer que Hn est un polynôme ...

Shadows Asgard

Titre initial "Montrer que Hn est un polynôme dont on précisera le degré, le coefficient dominant et la parité"
[Le titre n'est pas fait pour donner l'énoncé du problème. Il y a tout le corps de message pour cela. AD]

Bonjour j'ai un problème pour cet exercice pour la question 3)b) car en effet je n'arrive pas à comprendre en quoi Hn est un polynôme et quel est son degré et son coefficient dominant.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance pour votre réponse
Cordialement.

NicoLeProf

Salut Shadows Asgard !

Pour la question 3) b), je te conseille de calculer $H_2$ et $H_3$ par exemple pour mieux te rendre compte que ce sont bien des polynômes et pour t'aider à conjecturer le degré de $H_n$ et son coefficient dominant. 

Une fois que tu auras fait cela, n'hésite pas à raisonner par récurrence sur $n$ en utilisant la relation que tu as trouvée à 3) a) pour répondre à cette question !

Fin de partie

@Shadows Asgard : Si c'est vrai au rang  $n$ il existe $p_n$ un polynôme à coefficients réels tel que pour tout réel $x$ on a, $\displaystyle f^{(n)}(x)=(-1)^ n\text{e}^{-x^2}p_n(x)$.

NB : l'énoncé impose une autre façon de résoudre.

Area 51

Tes petits bonshommes s'appellent les polynômes de Hermite.

Shadows Asgard

D'accord merci et par contre je ne comprends pas comment dois-je m'y prendre pour déterminer la parité de Hn pour la question 3)b) ? 
Car le problème est qu'on ne connaît pas l'expression de la dérivée énième de f ?

Math Coss

Je reprends à mon compte la suggedtion de @NicoLeProf : calcule les premiers termes de ces suites. Par ailleurs rappelle-toi la parité de la dérivée d'une fonction paire (resp. impaire).

Shadows Asgard

Bonjour, merci pour votre réponse réponse @Math Coss, concernant la parité, pour les premiers termes de Hn on voit très bien qu'il y a une alternance entre pair si n est pair et impair si n est impair.
Mais le problème c'est pour la parité de H(n+1) dans l'hérédité dans la récurrence. Comment faire ?
Car on ne connaît pas l'expression de la dérivée énième de f ?
Donc on ne peut pas étudier la parité en partant de la définition de Hn de l'introduction de l'énoncé.

Et deuxième solution : bloqué aussi car si on étudie H(n+1) à partir de la relation trouvé à la question 3)a), on sait qu'on doit distinguer 2 cas : n pair et n impair.
Si n est pair, alors (n+1) est impair, et on sait que 2x est impair, et que Hn est pair, donc 2x*Hn(x) est impair. Et Hn' est impair, et donc H(n+1) = une fonction impaire - une fonction paire, et ça fait quoi en terme de parité ?

Rescassol

Bonjour,

Tu as démontré au 3)a) que $H_n'=H_nH_1-H_{n+1}$, donc $H_{n+1}=H_nH_1-H_n'$.
Si $H_n$ a une parité, alors $H_nH_1$ et $H_n'$ ont chacun l'autre parité, ce qui suffit pour écrire ta récurrence proprement.

Cordialement,
Rescassol
,

gebrane

Tu veux démontrer que $H_n$ a la même parité que $n$. Tu notes la propriété à démontrer par récurrence  sur $n$ : $$\mathcal{P}_n:\quad  H_n(-X) = (-1)^n H_n(X).$$