Montrer que Hn est un polynôme ...

Shadows Asgard
Modifié (May 2023) dans Algèbre
Titre initial "Montrer que Hn est un polynôme dont on précisera le degré, le coefficient dominant et la parité"
[Le titre n'est pas fait pour donner l'énoncé du problème. Il y a tout le corps de message pour cela. AD]
Bonjour j'ai un problème pour cet exercice pour la question 3)b) car en effet je n'arrive pas à comprendre en quoi Hn est un polynôme et quel est son degré et son coefficient dominant.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance pour votre réponse
Cordialement.

Réponses

  • Salut Shadows Asgard !
    Pour la question 3) b), je te conseille de calculer $H_2$ et $H_3$ par exemple pour mieux te rendre compte que ce sont bien des polynômes et pour t'aider à conjecturer le degré de $H_n$ et son coefficient dominant. 
    Une fois que tu auras fait cela, n'hésite pas à raisonner par récurrence sur $n$ en utilisant la relation que tu as trouvée à 3) a) pour répondre à cette question ! ;):)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Fin de partie
    Modifié (May 2023)
    @Shadows Asgard : Si c'est vrai au rang  $n$ il existe $p_n$ un polynôme à coefficients réels tel que pour tout réel $x$ on a, $\displaystyle f^{(n)}(x)=(-1)^ n\text{e}^{-x^2}p_n(x)$.
    NB : l'énoncé impose une autre façon de résoudre.
  • Area 51
    Modifié (May 2023)
    Tes petits bonshommes s'appellent les polynômes de Hermite.
  • Shadows Asgard
    Modifié (May 2023)
    D'accord merci et par contre je ne comprends pas comment dois-je m'y prendre pour déterminer la parité de Hn pour la question 3)b) ? 
    Car le problème est qu'on ne connaît pas l'expression de la dérivée énième de f ?
  • Je reprends à mon compte la suggedtion de @NicoLeProf : calcule les premiers termes de ces suites. Par ailleurs rappelle-toi la parité de la dérivée d'une fonction paire (resp. impaire).
  • Shadows Asgard
    Modifié (May 2023)
    Bonjour, merci pour votre réponse réponse @Math Coss, concernant la parité, pour les premiers termes de Hn on voit très bien qu'il y a une alternance entre pair si n est pair et impair si n est impair.
    Mais le problème c'est pour la parité de H(n+1) dans l'hérédité dans la récurrence. Comment faire ?
    Car on ne connaît pas l'expression de la dérivée énième de f ?
    Donc on ne peut pas étudier la parité en partant de la définition de Hn de l'introduction de l'énoncé.
    Et deuxième solution : bloqué aussi car si on étudie H(n+1) à partir de la relation trouvé à la question 3)a), on sait qu'on doit distinguer 2 cas : n pair et n impair.
    Si n est pair, alors (n+1) est impair, et on sait que 2x est impair, et que Hn est pair, donc 2x*Hn(x) est impair. Et Hn' est impair, et donc H(n+1) = une fonction impaire - une fonction paire, et ça fait quoi en terme de parité ?
  • Rescassol
    Modifié (May 2023)
    Bonjour,

    Tu as démontré au 3)a) que $H_n'=H_nH_1-H_{n+1}$, donc $H_{n+1}=H_nH_1-H_n'$.
    Si $H_n$ a une parité, alors $H_nH_1$ et $H_n'$ ont chacun l'autre parité, ce qui suffit pour écrire ta récurrence proprement.

    Cordialement,
    Rescassol
    ,
  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    Tu veux démontrer que $H_n$ a la même parité que $n$. Tu notes la propriété à démontrer par récurrence  sur $n$ : $$\mathcal{P}_n:\quad  H_n(-X) = (-1)^n H_n(X).$$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


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