Théorème de Wilson, recherche de preuve

Tyoussef

Bonjour ou bonsoir,  voir l'heure)
D'abord, énoncé : 

Théorème de Wilson
            Un nombre $ p≥2 $ est premier si et seulement si  $\quad (p-1)!   \equiv -1  [p]$.

Lorsque, j'ai vu ce théorème, je me suis dit un poids lourd, car il y a une factorielle.
Peux-on donner des preuves magnifiques, claires et simples à ce théorème ?
Merci d'avance.

Thierry Poma

Bonsoir. Voici une preuve.

NicoLeProf

Salut Tyoussef, la preuve (donnée par Gauss il me semble) est sans doute la plus simple et la plus claire .

Si $p=2$ alors le résultat est clair.

Si $p$ est premier impair alors $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ est de cardinal $p-1$ ($p-1$ est donc pair puisque $p$ est impair) et les seuls éléments de $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ qui sont leurs propres inverses sont $1$ et $-1$.

On peut donc regrouper les autres éléments et leurs inverses par deux pour calculer $\overline{(p-1)!}$ et on obtient : $\overline{(p-1)!}=\overline{1} \times \overline{-1}=\overline{-1}$ . D'où le résultat.

Pour la réciproque, je te laisse faire la preuve en exercice.

Fin de partie

Pour la réciproque.

Si $p\geq 2$ n'est pas premier tous ses diviseurs (qui ne sont pas $p$) sont inférieurs ou égaux à $p-1$.

En particulier, si $p$ a pour décomposition en facteurs premiers $q_1^{\alpha_1}\times\dots\times q_n^{\alpha_n}$, les $q_i^{\alpha_i}$ sont premiers entre eux deux à deux, et inférieurs ou égaux à $p-1$ donc ils divisent tous $(p-1)!$. Puisqu'ils sont premiers entre eux cela signifie que leur produit, qui est $p$, divise aussi $(p-1)!$ donc on a $(p-1)!\equiv 0\mod{p}$

Tyoussef

OOOups; ce théorème est très vieux ...
" Le théorème de Wilson a été découvert à la fin du dixième siècle  par le mathématicien arabe Ibn al-Haythamqu’on nomme aussi Alhazen. Le résultat ressurgit, sans démonstration, à la fin du dix-huitième siècle dans les écrits de Edward Waring qui l’attribue en 1770 à son élève John Wilson. L’année suivante, Lagrange en donne deux démonstrations dans son article [LAG]. En fait, Leibniz (1646-1716) connaissait déjà le résultat et sa démonstration mais ne les avait pas publiés (voir [RAS] pour de plus amples considérations historiques)."

source : https://www.idpoisson.fr/beck/wp-content/uploads/sites/16/2018/06/cplt-wilson.pdf

Area 51

Dans $\mathbb{F}_p$, le produit $2.3\ldots(p-2)$ comporte un nombre pair de facteurs qui se rassemblent en paires nombre / inverse. Puisque $2.3\ldots(p-2) = 1$, il apparaît clair que $(p-1)! = p-1 = -1 \pmod{p}$.

nicolas.patrois

Attention, si p=4, 1×2×3=2[4].

NicoLeProf

Nicolas : $p$ est premier ici donc pourquoi supposer que $p=4$ ... ?

Fin de partie

@NicoLeProf : Je pense ce que voulait dire @nicolas.patrois est que c'est un peu rapide de déclarer sans explication qu'on peut apparier comme il le fait car, a priori, rien n'empêche qu'un entier et son inverse multiplicatif dans $\mathbb{F}_p$ pourraient être congrus modulo $p$.

gai requin

Pour tout $p$ premier, $1,2,\ldots,p-1$ sont les racines de $X^{p-1}-1$ d'après Fermat donc, d'après les relations coefficients-racines, on a $(p-1)!=-1\bmod p$.
Si réciproquement, $p\geq 2$ vérifie $(p-1)!=-1\bmod p$, alors $1,2,\ldots,p-1$ sont inversibles modulo $p$ donc $p$ est premier.

Rombaldi

Bonjour Tyoussef,
le document joint peut t'intéresser.
Bonne journée

Thierry Poma

@Rombaldi : bonjour. J'espère que tu vas bien. De quel livre provient cet extrait, s'il te plait ?

Tyoussef

@ NicoLeProf

Bonjour, NicoLeProf oui l'idée de Gauss, est super, et même magique. Je ne l'ai pas comprise tout suite, en fait  Gauss est dans le corps   $\left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z},+,. \right)$, dans ce corps la factorielle $(p-1)!$ regroupe tout les éléments du corps  $\left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z},+,. \right)$. Alors tout les éléments  retrouvent leurs inverses, de plus $p-1$ est pair, donc deux à deux, on a $x.x^{-1}=1$.

Tyoussef

@Thierry Poma 

bonjour,  Je viens de lire votre document, je vais prendre un peu de temps ... car je ne connais pas SYLOW THEOREM,

Tyoussef

@gai requin
Bonjour, vous pouvez détailler plus s'il vous plaît. Le Fermat : lequel des Fermat ?  Excusez mon modeste savoir.

Grand merci.

Tyoussef

@Area 51
bonjour, oui, l'idée de Gauss, l'ensemble $F_p$ pouvez-vous donner sa forme ?
Merci.
Cordialement.

Tyoussef

@Rombaldi
bonjour, oui c'est intersession,  même remarque, que

Thierry Poma a dit :

@Rombaldi : bonjour. J'espère que tu vas bien. De quel livre provient cet extrait, s'il te plait ?

Merci.

Cordialement.

Tyoussef

@ NicoLeProf
Il y a une autre démonstration qui ressemble à ce que vous avez fait, je parle de la factorielle, vous et Gebrane  dans un l'autre fil. La démonstration de Lagrange.

On vous attend avec impatience.

Rombaldi

Bonjour Thierry,
de mon coté ça va bien. J'espère qu'il en est de même pour toi.

Le document joint dans mon précédent message est extrait d'un livre d'algèbre pour l'agrégation publié chez Deboeck.
Bonne journée.

Thierry Poma

@Rombaldi : effectivement, il s'agit peut-être de la deuxième édition de Mathématiques pour l'agrégation - Algèbre et géométrie: Éléments de cours avec près de 300 exercices corrigés. Je le possède. Ce qui m'a mis dans l'erreur, ce sont les numéros de pages qui ne correspondent pas. Serait-ce une prochaine édition ? Je le suppose. Je te remercie pour ta réponse.

Area 51

$\mathbb{F}_p$, ce n'est rien d'autre que l'ensemble (des classes) $\{ 0,1,2,\ldots,p-1 \}$. C'est juste une notation raccourcie par rapport à $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ qui sous-entend qu'on parle de corps ($\mathbb{F}$ pour "field", implicitement $p$ premier). Par exemple, $\mathbb{F}_{125}$ est le corps à $125$ éléments, à ne pas confondre avec l'anneau $\mathbb{Z}/125\mathbb{Z}$.

Area 51

On peut aussi récupérer Wilson en faisant correspondre la structure multiplicative de $\mathbb{F}_p$ avec sa structure additive, en ayant remarqué préalablement que $(p-1)!$ est d'ordre $2$.